Cho số thực a và dãy số $\left ( X_{n} \right )$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} X_{0}=a & & \\ X_{n+1}= \frac{X_{n}^{2}}{2-X_{n}^{2}}& & \end{matrix}\right.$
a, Khi $a= \frac{1}{2}$. CMR $\left ( X_{n} \right )$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b, Khi $a\in \left [ 0;1 \right ]$. CMR $\left ( X_{n} \right )$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Làm câu b (là trường hợp tổng quát) trước.
b) Xét 2 trường hợp :
+ $a=0$ hoặc $a=1$ :
Ta có $X_0=a$
Giả sử $X_k=a$ ($k\geqslant 0$)
$\Rightarrow X_{k+1}=\frac{X_k^2}{2-X_k^2}=\frac{a^2}{2-a^2}=a=X_k$
$\Rightarrow$ dãy $(X_n)$ là một dãy hằng (các số hạng đều bằng nhau) nên nó có giới hạn hữu hạn và $\lim X_n=a$
+ $a\in (0;1)$
Ta có $0< X_0=a< 1$
Giả sử ta có $0< X_k< 1$ (với $k$ là số nguyên nào đó lớn hơn hoặc bằng $0$)
$\Rightarrow X_{k+1}=\frac{X_k^2}{2-X_k^2}<\frac{X_k}{2-X_k^2}<\frac{X_k}{2-1}=X_k$
$\Rightarrow$ dãy $(X_n)$ là dãy số giảm.
Mặt khác dễ thấy $X_{n+1}=\frac{X_n^2}{2-X_n^2}> 0\Rightarrow$ mọi số hạng của dãy đều lớn hơn $0\Rightarrow$ dãy bị chặn dưới.
$(X_n)$ giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn.
Gọi giới hạn hữu hạn đó là $L$, ta có : $L=\frac{L^2}{2-L^2}$
$\Rightarrow L=0$ (loại giá trị $L=-2$ vì các số hạng đều dương ; loại giá trị $L=1$ vì dãy số giảm)
Tóm lại : Nếu $a\in \left [ 0;1 \right )$ thì $L=0$
Nếu $a=1$ thì $L=1$
a) Theo kết quả câu b thì :
$a=\frac{1}{2}\Rightarrow L=0$