Chủ đề này có 5 trả lời

[LinhToan]

cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3.

CMR: $\sum \frac{1}{2+a^{2}b}\geq 1$

[AnhTran2911]

Áp dụng bổ đề sau:  Với $a,b,c\ge0$ thỏa mãn $a+b=c=3$ thì $\sum\frac{1}{8+a^2b}\geq\frac{1}{3}$

[LinhToan]

Áp dụng bổ đề sau:  Với $a,b,c\ge0$ thỏa mãn $a+b=c=3$ thì $\sum\frac{1}{8+a^2b}\geq\frac{1}{3}$

CM bổ đề ntn ạ!!!

[Hoang Dinh Nhat]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\sum \frac{a^2b}{2+a^2b}\leq 1$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:$a^2b+1+1\geq \sqrt[3]{a^2b}$

=>$\frac{a^2b}{2+a^2b}\leq \frac{a^2b}{3\sqrt[3]{a^2b}}= \frac{1}{3}.\sqrt[3]{a^4b^2}= \frac{1}{3}.\sqrt[3]{a^2.ab.ab}\leq \frac{1}{9}.(a^2+2ab)$

Tương tự:

$\frac{b^2c}{2+b^2c}\leq \frac{1}{9}.(b^2+2bc)$

$\frac{c^2a}{2+c^2a}\leq \frac{1}{9}.(c^2+2ca)$

Cộng theo vế ta được:

$\sum \frac{a^2b}{2+a^2b}$$\leq \frac{1}{9}.(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)= \frac{1}{9}.(a+b+c)^2= 1$

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 07-05-2017 - 20:33

[AnhTran2911]

CM bổ đề ntn ạ!!!

Cái này quen thuộc . Bạn xem nó trong cuốn phân loại bất của cụ Vasile nhé.

[Nguyenphuctang]

Cách khác trâu bò hơn (Làm chơi thôi khuyên không nên học theo cách này)

Ta sẽ chứng minh $VT \geq 1$

Từ giả thiết trên ta dễ chứng minh được bổ đề:

$$ \sum_{cyc} ab^{2} \leq 4-abc $$

Quy đồng biến đổi tương đương như sau:

$$VT \leq 1 \Leftrightarrow \frac{abc\sum_{cyc} a^{2}c + 4 \sum_{cyc} a^{2}b+12}{a^{3}b^{3}c^{3}+2abc\sum_{cyc} a^{2}c+ 4\sum_{cyc}a^{2}b +8} \leq 1 \Leftrightarrow abc\sum_{cyc}a^{2}c +a^{3}b^{3}c^{3} = abc(\sum_{cyc}a^{2}c+a^{2}b^{2}c^{2}) \leq 4$$

Áp dụng bổ đề ta cần chứng minh:

$$abc(4-abc +a^{2}b^{2}c^{2}) \leq 4$$

Đến đây để đơn giản bài toán ta đặt $x=abc$ ($x \leq 1$)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$$4x-x^{2}+x^{3} \leq 4 \Leftrightarrow (x^{2}+1)(x-1) \leq 0$$ 

Bất đẳng thức cuối luôn đúng ($ x \leq 1$)

Suy ra điều phải chứng minh.           $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenphuctang: 07-05-2017 - 23:27