Chủ đề này có 1 trả lời

[Haton Val]

Cho các số nguyên dương a, b, c nguyên tố cùng nhau.

Xét đa thức P(x)=x²-(a+b)x+ab,

biết P(c)=c². Chứng minh c.P(a+b) là số chính phương

[minhmeo68]

Ta có: P(c) = c^2 - (a+b)*c + ab

Lại có P(c) = c^2

Do đó (a + b)*c = ab

     <=> ac + bc - ab = 0

     <=> a(c - b) - c(c - b) + c^2 = 0

     <=> (a - c)(b - c) = c^2

Gọi d là ước chung lớn nhất của a - c và b - c

Ta có a - c chia hết cho d

          b - c chia hết cho d

Do đó (a - c)(b - c) chia hết cho d^2

Do đó c^2 chia hết cho d^2

  => c chia hết cho d

  => a chia hết cho d

       b chia hết cho d

Nên d = 1 do (a, b, c) = 1

Suy ra a - c = t^2

           b - c = u^2

Ta có a + b = (a - c) + (b - c) + 2c = k^2 + m^2 + 2km  = (k + m)^2

Do đó a + b là số chính phương.

Ta có P(a + b) = ab

          P(c) = c^2 = c^2 - (a +b) c + ab. Suy ra (a + b)c = ab

Do đó c*P(a + b) = c^2(a + b). Suy ra đpcm