Chủ đề này có 9 trả lời

[Minhnksc]

Tìm $x$ và $y$ nguyên sao cho $x^2+3y^2$ và $y^2+3x^2$ là số chính phương

[Tea Coffee]

Nghĩ nát óc không ra chỉ biết nghiệm phì phào là x=y thôi

[adteams]

Tìm $x$ và $y$ nguyên sao cho $x^2+3y^2$ và $y^2+3x^2$ là số chính phương

   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi adteams: 19-05-2017 - 14:10

[NHoang1608]

Vì số mũ của mỗi biến là bậc chẵn cho nên nếu $(k,h)$ là nghiệm của hệ thì $(-h,k),(h;-k),(-h;-k)$ cũng là nghiệm, không giảm tổng quát ta giả sử $x,y$ nguyên dương.

Đặt $(x;y)=d$ thì $d^{2}(x_{1}^{2}+3y_{1}^{2})=k^{2} \Rightarrow x_{1}^{2}+3y_{1}^{2} = a^{2}$ đến đây cũng suy ra được $(x_{1};y_{1})$ cũng là ngiệm của hệ.

Không giảm tổng quát giả sử $(x;y)=1$, công việc của ta là cm $x=y=1$.

Đến đây thì đang tiếp tục với hướng kẹp $3x^{4}+10x^{2}y^{2}+3y^{4}$ nhưng có con số 3 nên khó wa.

Đây là hướng của minh. Mong hữu ích j đó cho mng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 18-05-2017 - 16:29

[Minhnksc]

Đây chính là bài thi thử THPT chuyên Phan Bội Châu (năm nào đó) do mình lượm được trên diễn đàn nhưng chưa có lời giải nên đăng lên đây

 

Vì số mũ của mỗi biến là bậc chẵn cho nên nếu $(k,h)$ là nghiệm của hệ thì $(-h,k),(h;-k),(-h;-k)$ cũng là nghiệm, không giảm tổng quát ta giả sử $x,y$ nguyên dương.

Đặt $(x;y)=d$ thì $d^{2}(x_{1}^{2}+3y_{1}^{2})=k^{2} \Rightarrow x_{1}^{2}+3y_{1}^{2} = a^{2}$ đến đây cũng suy ra được $(x_{1};y_{1})$ cũng là ngiệm của hệ.

Không giảm tổng quát giả sử $(x;y)=1$, công việc của ta là cm $x=y=1$.

Đến đây thì đang tiếp tục với hướng kẹp $3x^{4}+10x^{2}y^{2}+3y^{4}$ nhưng có con số 3 nên khó wa.

Đây là hướng của minh. Mong hữu ích j đó cho mng.

Mình thì lại nghĩ là dùng xuống thang nhưng có vẻ không ổn lắm và nó cũng không hiệu quả; chắc là kẹp sẽ ổn hơn.

[NHoang1608]

Đây chính là bài thi thử THPT chuyên Phan Bội Châu (năm nào đó) do mình lượm được trên diễn đàn nhưng chưa có lời giải nên đăng lên đây

 

Mình thì lại nghĩ là dùng xuống thang nhưng có vẻ không ổn lắm và nó cũng không hiệu quả; chắc là kẹp sẽ ổn hơn.

xuống thang hình như chỉ được $x=y=0$ thôi mà.

[Minhnksc]

xuống thang hình như chỉ được $x=y=0$ thôi mà.

Thế mình mới nói là không hiệu quả khi dùng xuống thang; mà cũng chưa chắc chỉ có nghiệm $x=y$ nên có lẽ kẹp vẫn là ổn

Đã ai tìm được nghiệm khác ngoài $x=y$ chưa; hay là phản chứng nhỉ?

[Tea Coffee]

https://diendantoanh...x-chinh-phương/

[Minhnksc]

https://diendantoanh...x-chinh-phương/

chắc tìm được cái này cũng mệt đấy . Khoan; ở đấy là $x^2+3y$ mà; còn đề bài trong đây là $x^2+3y^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 19-05-2017 - 22:39

[Tea Coffee]

chắc tìm được cái này cũng mệt đấy . Khoan; ở đấy là $x^2+3y$ mà; còn đề bài trong đây là $x^2+3y^2$

Nhìn sơ qua nên nhầm , sorry a nhé. mà chẳng mệt gì đâu,đánh đề lên bác google là có đấy