Chủ đề này có 3 trả lời

[Doflamingo]

1,Cho các số thực không âm a,b,c. CMR:

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geqslant 2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

 

2,Cho các số thực dương a,b,c.CMR:

$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geqslant \sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Doflamingo: 24-05-2017 - 11:03

[PlanBbyFESN]

1,Cho các số thực dương a,b,c. CMR:

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geqslant 2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

 

2,Cho các số thực dương a,b,c.CMR:

$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geqslant \sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}$

 

Câu 1 đề là $a,b,c$ không âm 

[KietLW9]

Áp dụng Cauchy-Schwarz: $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}}=\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{a}.\sqrt{ab+ac}+\sqrt{b}.\sqrt{ba+bc}+\sqrt{c}.\sqrt{ca+cb}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{(a+b+c).2(ab+bc+ca)}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{(a+b+c).\frac{2}{3}(a+b+c)^2}}=\sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}$

[KietLW9]

Cho các số thực không âm a,b,c. CMR:

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geqslant 2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

Bình phương hai vế, ta cần chứng minh: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+2\sqrt{\frac{ab}{(b+c)(c+a)}}+2\sqrt{\frac{bc}{(c+a)(a+b)}}+2\sqrt{\frac{ca}{(a+b)(b+c)}}\geqslant 4+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Áp dụng AM-GM, ta được: $2\sum_{cyc}^{}\sqrt{\frac{ab}{(b+c)(c+a)}}=2\sum_{cyc}^{}\frac{\sqrt{ab(b+c)(c+a)}}{(b+c)(c+a)}\geqslant 2\sum_{cyc}^{}\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{ab}+c)}{(b+c)(c+a)}=\frac{2ab(a+b)+2bc(b+c)+2ca(c+a)+2c\sqrt{ab}(a+b)+2a\sqrt{bc}(b+c)+2b\sqrt{ca}(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geqslant \frac{2ab(a+b)+2bc(b+c)+2ca(c+a)+12abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=2+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Cần chứng minh: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geqslant 2$

$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

Bất đẳng thức cuối là Schur nên ta có điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 17-12-2021 - 16:03