Cho các số thực không âm a,b,c. CMR:
$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geqslant 2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$
Bình phương hai vế, ta cần chứng minh: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+2\sqrt{\frac{ab}{(b+c)(c+a)}}+2\sqrt{\frac{bc}{(c+a)(a+b)}}+2\sqrt{\frac{ca}{(a+b)(b+c)}}\geqslant 4+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Áp dụng AM-GM, ta được: $2\sum_{cyc}^{}\sqrt{\frac{ab}{(b+c)(c+a)}}=2\sum_{cyc}^{}\frac{\sqrt{ab(b+c)(c+a)}}{(b+c)(c+a)}\geqslant 2\sum_{cyc}^{}\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{ab}+c)}{(b+c)(c+a)}=\frac{2ab(a+b)+2bc(b+c)+2ca(c+a)+2c\sqrt{ab}(a+b)+2a\sqrt{bc}(b+c)+2b\sqrt{ca}(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geqslant \frac{2ab(a+b)+2bc(b+c)+2ca(c+a)+12abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=2+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Cần chứng minh: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geqslant 2$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
Bất đẳng thức cuối là Schur nên ta có điều phải chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 17-12-2021 - 16:03
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$