Chủ đề này có 4 trả lời

[ViaUyennhi]

Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh: $\frac{1}{x^{3}y^{3}}+\frac{y^{3}}{z^{3}}+x^{3}z^{3}\geq \frac{1}{x^{2}y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+x^{2}z^{2}$

 

[TenLaGi]

Áp dụng bđt Cô-si: $\frac{1}{x^3y^3}+\frac{y^3}{z^3}+x^3z^3\geq 3$

Ta có:

$3(\frac{1}{x^3y^3}+\frac{y^3}{z^3}+x^3z^3)\geq 2(\frac{1}{x^3y^3}+\frac{y^3}{z^3}+x^3z^3)+3$$= (\frac{1}{x^3y^3}+\frac{1}{x^3y^3}+1)+(\frac{y^3}{z^3}+\frac{y^3}{z^3}+1)+(x^3z^3+x^3z^3+1)$

Áp dụng Cô-si cho từng bộ ba số, ta suy ra điều phải chứng minh

[duylax2412]

đặt: $a=\frac{1}{xy};b=\frac{y}{z};c=xz \rightarrow abc=1$ ($a,b,c>0$)

 bài toán trở thành:

Cho: abc=1 (a,b,c>0).Chứng minh:$a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2$

 Áp dụng bđt: $3(a^3+b^3+c^3)\geq (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$, có:

$3(a^3+b^3+c^3)\geq (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 3\sqrt[3]{abc}(a^2+b^2+c^2)=3(a^2+b^2+c^2)$

Suy ra dpcm.

 

[Sketchpad3356]

 

đặt: $a=\frac{1}{xy};b=\frac{y}{z};c=xz \rightarrow abc=1$ ($a,b,c>0$)

 bài toán trở thành:

Cho: abc=1 (a,b,c>0).Chứng minh:$a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2$

 Áp dụng bđt: $3(a^3+b^3+c^3)\geq (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$, có:

$3(a^3+b^3+c^3)\geq (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 3\sqrt[3]{abc}(a^2+b^2+c^2)=3(a^2+b^2+c^2)$

Suy ra dpcm.

 

Chứng minh cái BĐT phụ đi

[duylax2412]

BĐT <=> $2(a^3+b^3+c^3)\geq \sum ab(a+b)$

Áp dụng BĐT phụ: $a^3+b^3 \geq ab(a+b)$(biến đổi tương đương )