Cho $P(x)=x^{2}-\alpha$ . Tìm đa thức Q(x)=$x^3+ax^2+bx+c$ sao cho $P(Q(x))=Q(P(x))$
Tìm đa thức Q(x)=$x^3+ax^2+bx+c$
#1
Đã gửi 01-06-2017 - 21:27
"DÙ BẠN NGHĨ BẠN CÓ THỂ HAY BẠN KHÔNG THỂ, BẠN ĐỀU ĐÚNG "
-Henry Ford -
#2
Đã gửi 02-06-2017 - 07:39
Không biết đề có điều kiện $\alpha$ không cậu ?
Chẳng hạn $\alpha > 0$.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#3
Đã gửi 03-06-2017 - 14:23
Cho $P(x)=x^{2}-\alpha$ . Tìm đa thức Q(x)=$x^3+ax^2+bx+c$ sao cho $P(Q(x))=Q(P(x))$
$P(Q(x))=Q(P(x))\Rightarrow (x^3+ax^2+bx+c)^2-\alpha =(x^2-\alpha )^3+a(x^2-\alpha )^2+b(x^2-\alpha )+c$
Đạo hàm 2 vế, suy ra :
$(x^3+ax^2+bx+c)(3x^2+2ax+b)=3\ x(x^2-\alpha )^2+2\ ax(x^2-\alpha )+bx$
Khai triển và cân bằng hệ số, ta được :
$\left\{\begin{matrix}a=0\\c=0\\4\ b=-6\ \alpha \\b^2=3\ \alpha ^2+b \end{matrix}\right.$
Hệ trên chỉ có nghiệm khi $\alpha =0$ hoặc $\alpha =2$
Trả lời :
+ Nếu $\alpha =0$ : Khi đó $b=0\Rightarrow Q(x)=x^3$
+ Nếu $\alpha =2$ : Khi đó $b=-3\Rightarrow Q(x)=x^3-3x$
+ $\alpha$ có giá trị khác : Không có đa thức $Q(x)$ thỏa mãn.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#4
Đã gửi 03-06-2017 - 15:09
Không biết đề có điều kiện $\alpha$ không cậu ?
Chẳng hạn $\alpha > 0$.
Không cần nhé !!!
$P(Q(x))=Q(P(x))\Rightarrow (x^3+ax^2+bx+c)^2-\alpha =(x^2-\alpha )^3+a(x^2-\alpha )^2+b(x^2-\alpha )+c$
Đạo hàm 2 vế, suy ra :
$(x^3+ax^2+bx+c)(3x^2+2ax+b)=3\ x(x^2-\alpha )^2+2\ ax(x^2-\alpha )+bx$
Khai triển và cân bằng hệ số, ta được :
$\left\{\begin{matrix}a=0\\c=0\\4\ b=-6\ \alpha \\b^2=3\ \alpha ^2+b \end{matrix}\right.$
Hệ trên chỉ có nghiệm khi $\alpha =0$ hoặc $\alpha =2$
Trả lời :
+ Nếu $\alpha =0$ : Khi đó $b=0\Rightarrow Q(x)=x^3$
+ Nếu $\alpha =2$ : Khi đó $b=-3\Rightarrow Q(x)=x^3-3x$
+ $\alpha$ có giá trị khác : Không có đa thức $Q(x)$ thỏa mãn.
Lời giải của bạn về đạo hàm hay đấy.....
Đây là lời giải của mình :
từ điều kiện đề bài suy ra: $(x^3+ax^2+bx+c)^2-\alpha =(x^2-\alpha )^3+a(x^2-\alpha )^2+b(x^2-\alpha )+c$
nhận thấy vế phải chỉ có x bậc chẵn nên đồng nhất hệ số $x^5$ =>a=0 vậy Q(x)=$x^3+bx+c$
tiếp tục làm tương tự $(x^3+bx+c)^2-\alpha =(x^2-\alpha )^3+b(x^2-\alpha )+c$
đồng nhất hệ số $x^4$, $x^3$, $x^2$ ta được hệ $\left\{\begin{matrix}2b=-3\alpha \\ 2c=0 \\ b^2=3\alpha ^2+b \end{matrix}\right.$
giải hệ trên ta được $\left\{\begin{matrix}c=0 \\ \begin{bmatrix}b=0=>\alpha =0 \\ b=-3=>\alpha =2 \end{bmatrix} \end{matrix}\right.$
vậy $\begin{bmatrix}Q(x)=x^3, P(x)=x^2 \\ Q(x)=x^3-3x, P(x)=x^2-2 \end{bmatrix}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenduy287: 03-06-2017 - 15:11
"DÙ BẠN NGHĨ BẠN CÓ THỂ HAY BẠN KHÔNG THỂ, BẠN ĐỀU ĐÚNG "
-Henry Ford -
#5
Đã gửi 03-06-2017 - 22:36
Cho $P(x)=x^{2}-\alpha$ . Tìm đa thức Q(x)=$x^3+ax^2+bx+c$ sao cho $P(Q(x))=Q(P(x))$
@nguyenduy287: Viết đề toán mà chẳng ra đề toán. Điều đó hiển hiện rõ ràng nhất lời giải.
Đời người là một hành trình...
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh