4 replies to this topic

[nguyenduy287]

Cho $P(x)=x^{2}-\alpha$ . Tìm đa thức Q(x)=$x^3+ax^2+bx+c$ sao cho $P(Q(x))=Q(P(x))$

[Baoriven]

Không biết đề có điều kiện $\alpha$ không cậu ?

Chẳng hạn $\alpha > 0$.

[chanhquocnghiem]

Cho $P(x)=x^{2}-\alpha$ . Tìm đa thức Q(x)=$x^3+ax^2+bx+c$ sao cho $P(Q(x))=Q(P(x))$

$P(Q(x))=Q(P(x))\Rightarrow (x^3+ax^2+bx+c)^2-\alpha =(x^2-\alpha )^3+a(x^2-\alpha )^2+b(x^2-\alpha )+c$

Đạo hàm 2 vế, suy ra :

$(x^3+ax^2+bx+c)(3x^2+2ax+b)=3\ x(x^2-\alpha )^2+2\ ax(x^2-\alpha )+bx$

Khai triển và cân bằng hệ số, ta được :

$\left\{\begin{matrix}a=0\\c=0\\4\ b=-6\ \alpha \\b^2=3\ \alpha ^2+b \end{matrix}\right.$

Hệ trên chỉ có nghiệm khi $\alpha =0$ hoặc $\alpha =2$

 

Trả lời :

+ Nếu $\alpha =0$ : Khi đó $b=0\Rightarrow Q(x)=x^3$

+ Nếu $\alpha =2$ : Khi đó $b=-3\Rightarrow Q(x)=x^3-3x$

+ $\alpha$ có giá trị khác : Không có đa thức $Q(x)$ thỏa mãn.

[nguyenduy287]

Không biết đề có điều kiện $\alpha$ không cậu ?

Chẳng hạn $\alpha > 0$.

Không cần nhé !!!

 

$P(Q(x))=Q(P(x))\Rightarrow (x^3+ax^2+bx+c)^2-\alpha =(x^2-\alpha )^3+a(x^2-\alpha )^2+b(x^2-\alpha )+c$

Đạo hàm 2 vế, suy ra :

$(x^3+ax^2+bx+c)(3x^2+2ax+b)=3\ x(x^2-\alpha )^2+2\ ax(x^2-\alpha )+bx$

Khai triển và cân bằng hệ số, ta được :

$\left\{\begin{matrix}a=0\\c=0\\4\ b=-6\ \alpha \\b^2=3\ \alpha ^2+b \end{matrix}\right.$

Hệ trên chỉ có nghiệm khi $\alpha =0$ hoặc $\alpha =2$

 

Trả lời :

+ Nếu $\alpha =0$ : Khi đó $b=0\Rightarrow Q(x)=x^3$

+ Nếu $\alpha =2$ : Khi đó $b=-3\Rightarrow Q(x)=x^3-3x$

+ $\alpha$ có giá trị khác : Không có đa thức $Q(x)$ thỏa mãn.

Lời giải của bạn về đạo hàm hay đấy..... 

Đây là lời giải của mình :

từ điều kiện đề bài suy ra: $(x^3+ax^2+bx+c)^2-\alpha =(x^2-\alpha )^3+a(x^2-\alpha )^2+b(x^2-\alpha )+c$

nhận thấy vế phải chỉ có x bậc chẵn nên đồng nhất hệ số $x^5$ =>a=0 vậy Q(x)=$x^3+bx+c$

tiếp tục làm tương tự $(x^3+bx+c)^2-\alpha =(x^2-\alpha )^3+b(x^2-\alpha )+c$

đồng nhất hệ số $x^4$, $x^3$, $x^2$ ta được hệ $\left\{\begin{matrix}2b=-3\alpha \\ 2c=0 \\ b^2=3\alpha ^2+b \end{matrix}\right.$

giải hệ trên ta được $\left\{\begin{matrix}c=0 \\ \begin{bmatrix}b=0=>\alpha =0 \\ b=-3=>\alpha =2 \end{bmatrix} \end{matrix}\right.$

vậy $\begin{bmatrix}Q(x)=x^3, P(x)=x^2 \\ Q(x)=x^3-3x, P(x)=x^2-2 \end{bmatrix}$

Edited by nguyenduy287, 03-06-2017 - 15:11.

[An Infinitesimal]

Cho $P(x)=x^{2}-\alpha$ . Tìm đa thức Q(x)=$x^3+ax^2+bx+c$ sao cho $P(Q(x))=Q(P(x))$

 

@nguyenduy287: Viết đề toán mà chẳng ra đề toán. Điều đó hiển hiện rõ ràng nhất lời giải.