Cho elip $(E):\frac{x^{2}}{24}+\frac{y^{2}}{12}=1$; ABCD là hình vuông có tất cả các cạnh đều tiếp xúc với (E). Tìm phương trình các cạnh của hình vuông đó.
#1
Đã gửi 04-06-2017 - 08:33
"... Xin thầy dạy cho cháu biết cách chấp nhận thất bại và cách tận hưởng niềm vui chiến thắng...."
-Tổng thống Mỹ Abraham Lincoln-
#2
Đã gửi 04-06-2017 - 21:59
Cho elip $(E):\frac{x^{2}}{24}+\frac{y^{2}}{12}=1$; ABCD là hình vuông có tất cả các cạnh đều tiếp xúc với (E). Tìm phương trình các cạnh của hình vuông đó.
Bổ đề 1: Đường thẳng $Ax+By+C=0$ tiếp xúc với ellipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\Leftrightarrow C^2=a^2A^2+b^2B^2$
(Tự chứng minh, dễ lắm !)
Bổ đề 2: Tiếp tuyến của ellipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ có hệ số góc $k$ có phương trình là $y=kx\pm \sqrt{k^2a^2+b^2}$
Chứng minh : Giả sử đường thẳng $Ax+By+C=0$ là tiếp tuyến của ellipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ và có hệ số góc là $k$
Ta có $k=-\frac{A}{B}$
Mặt khác theo bổ đề 1, ta có $C^2=a^2A^2+b^2B^2$
Phương trình tiếp tuyến có thể viết lại như sau :
$y=-\frac{A}{B}\ x-\frac{C}{B}=kx\pm \frac{\sqrt{a^2A^2+b^2B^2}}{B}=kx\pm \sqrt{k^2a^2+b^2}$
Bây giờ trở lại bài toán :
Gọi $t_{1,2}$ là các tiếp tuyến với ellipse đã cho có hệ số góc $k$ ($k> 0$).Theo bổ đề 2, ta có :
$t_{1,2}:y=kx\pm \sqrt{24k^2+12}$
Khoảng cách từ tâm ellipse (điểm $O$) đến $t_1$ (hoặc đến $t_2$) là $d_{O,t_1}=\frac{\sqrt{24k^2+12}}{\sqrt{k^2+1}}$
Gọi $t_{3,4}$ là các tiếp tuyến với ellipse đã cho có hệ số góc $-\frac{1}{k}$.Theo bổ đề 2, ta có :
$t_{3,4}:y=-\frac{1}{k}\ x\pm \sqrt{\frac{24}{k^2}+12}$
Khoảng cách từ tâm ellipse (điểm $O$) đến $t_3$ (hoặc đến $t_4$) là $d_{O,t_3}=\frac{\sqrt{\frac{24}{k^2}+12}}{\sqrt{\frac{1}{k^2}+1}}=\frac{\sqrt{24+12k^2}}{\sqrt{1+k^2}}$
Vì $O$ là tâm đối xứng của ellipse nên nó cũng là tâm đối xứng của hình vuông ngoại tiếp ellipse
$\Rightarrow d_{O,t_1}=d_{O,t_3}\Rightarrow 24k^2+12=24+12k^2\Rightarrow k=1$ (vì $k> 0$)
Vậy phương trình các cạnh hình vuông là :
$(AB):y=x+6$ ($x\in\left [ -6;0 \right ]$)
$(BC):y=-x+6$ ($x\in\left [ 0;6 \right ]$)
$(CD):y=x-6$ ($x\in\left [ 0;6 \right ]$)
$(DA):y=-x-6$ ($x\in\left [ -6;0 \right ]$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 04-06-2017 - 22:01
- ThuThao36 yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: elip
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh