Chủ đề này có 3 trả lời

[Longkno]

Cho x, y dương thỏa mãn xy = 1. Tìm GTNN của $M=x^{2}+y^{2}+\frac{3}{x+y+1}$

[adteams]

$M= x^2+2xy+y^2 + \frac{3}{x+y+1}-2.xy = t^2 +\frac{3}{t+1} - 2 ( Đặt t=x^2 +y^2 \geq 2 )$

 Ta có $t^2 +\frac{3}{t+1} -2 - 3 = \frac{(t-2)(t^2+3t+1)}{x+1}\geq 0 (t\geq 2)$

$=> M\geq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi adteams: 07-06-2017 - 22:03

[PPGNADPP]

tách ra dùng AM-GM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PPGNADPP: 07-06-2017 - 22:31

[PPGNADPP]

Làm ra đi!!!!!!

$\inline M=x^{2}+y^{2}+\frac{3}{x+y+1}=\frac{3x^{2}}{4}+\frac{3y^{2}}{4}+\left ( \frac{x^{2}}{4}+\frac{1}{4} \right )+\left ( \frac{y^{2}}{4}+\frac{1}{4} \right )-\frac{1}{2}+\frac{3}{x+y+1}\geq \frac{3x^{2}}{4}+\frac{3y^{2}}{4}+\frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{1}{2}+\frac{3}{x+y+1}=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}+\left ( \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}+\frac{1}{4}+\frac{xy}{2}+\frac{x}{2}+\frac{y}{2} \right )-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-\frac{xy}{2}+\frac{3}{x+y+1}=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}+\left ( \frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{1}{2} \right )^{2}-\frac{5}{4}+\frac{3}{x+y+1}=\left ( \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2} \right )+\left [ \frac{1}{4}\left ( x+y+1 \right )^{2}+\frac{\frac{27}{4}}{x+y+1}+\frac{\frac{27}{4}}{x+y+1} \right ]-\frac{\frac{21}{2}}{x+y+1}-\frac{5}{4}\geq xy+\frac{27}{4}-\frac{\frac{21}{2}}{2\sqrt{xy}+1}-\frac{5}{4}=1+\frac{27}{4}-\frac{\frac{21}{2}}{2.1+1}-\frac{5}{4}=3$