Chủ đề này có 3 trả lời

[bigway1906]

Cho 2 số dương x, y và $x+y=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 14-06-2017 - 20:54

[minhducndc]

có x+y=1$\Leftrightarrow (x+y)^{3}=1 \Rightarrow \frac{1}{x^{3}+y^{3}}=\frac{(x+y)^{3}}{x^{3}+y^{3}}=1+\frac{3xy}{x^{3}+y^{3}}$(vì x+y=1)

ta có$\frac{1}{xy}=\frac{(x+y)^{3}}{xy}=3+\frac{x^{3}+y^{3}}{xy}$(vì xy=1)

áp sụng bất đẳng thức AM-GM ta có

$\frac{3xy}{x^{3}+y^{3}}+\frac{x^{3}+y^{3}}{xy}\geq 2\sqrt{\frac{3xy}{x^{3}+y^{3}}.\frac{x^{3}+y^{3}}{xy}}=2\sqrt{3}$

$\Rightarrow$Pmin=$2\sqrt{3}+4$

[kekkei]

Theo bất đẳng thức Cauchy- Schwartz dạng Engel:

$\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2-xy+y^2}+\frac{3}{3xy}\geqslant \frac{(1+\sqrt{3})^2}{(x+y)^2}=4+2\sqrt{3}$

 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $\frac{1}{x^2-xy+y^2}=\frac{\sqrt{3}}{3xy}$...

[cahoangkim123]

ta có P=$$\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}= \frac{1}{(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}}+\frac{3}{3xy}\geq \frac{1+\sqrt{3}^{2}}{1}$$

đến đây bạn tự giải tiếp nha

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cahoangkim123: 21-06-2017 - 10:28