Cho $a, b, c$ là các số không âm phân biệt. Chứng minh rằng: $M=(a^{2}+b^{2}+c^{2}).\left [\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}} \right ]\geq \frac{11+5\sqrt{5}}{2}.$
*Mong sẽ nhận được nhiều lời giải hay từ các bạn...
Cho $a, b, c$ là các số không âm phân biệt. Chứng minh rằng: $M=(a^{2}+b^{2}+c^{2}).\left [\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}} \right ]\geq \frac{11+5\sqrt{5}}{2}.$
*Mong sẽ nhận được nhiều lời giải hay từ các bạn...
Mình xin đưa ra ý tưởng!
Không mất tính tổng quát ta giả sử: $c = \min \left\{ {a,b,c} \right\}$. Khi đó ta được: $$\left( {\sum\limits_{cyc} {{a^2}} } \right)\left( {\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}} } \right) \geqslant \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}}} \right)$$Đến đây đặt $t = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ và khảo sát hàm 1 biến là xong!
$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$
Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya
0 members, 1 guests, 0 anonymous users