Chủ đề này có 2 trả lời

[khanh2101]

Cho $x, y, z > 0, x+y+z=xyz$

Tìm max $P=\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{y}{y^{2}+1}+\frac{z}{z^{2}+1}$

[nguyenduyxta2000]

Đặt $x=tanA$, $y=tanB$, $z=tanC$
Ta có: $P=\frac{1}{2}(sin2A+sin2B+sin2C)$
$\leqslant \frac{1}{2}(sinA+sinB+sinC)$
$\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenduyxta2000: 17-06-2017 - 23:47

[duylax2412]

Đặt $x=tanA$, $y=tanB$, $z=tanC$
 

Bạn ơi,THCS chưa học phương pháp này nhé.

Mình xin trình bày cách khác:

Đổi biến:$(x;y;z)=(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c})$.

Lúc này giả thiết trở thành $ab+bc+ca=1$ và chúng ta cần tìm max của: $\sum \frac{a}{a^2+1}$

Chú ý rằng: $a^2+1=a^2+ab+bc+ca=(a+b)(a+c)$

Do đó:$\sum \frac{a}{a^2+1}=\sum \frac{a}{(a+b)(a+c)}=\frac{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{2(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$.$(*)$

Chú ý dễ chứng minh bất đẳng thức sau:$(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq \frac{8\sqrt{3}}{9}$

(do:$ab+bc+ca=1$).Vậy từ $(*)$ suy ra:

$\sum \frac{a}{a^2+1} \leq \frac{2}{\frac{8\sqrt{3}}{9}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$