Chủ đề này có 2 trả lời

[Element hero Neos]

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=xy+2(x^3+y^3)-(x+y)^2$ biết $x,y>0$ thoả mãn $xy(x+y)=2$

P/s: Hóng cách dùng hàm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 07-07-2017 - 19:21

[slenderman123]

Mình chưa học hàm số, nên giải theo cách thông thường 

$P+12=xy+2(x+y)^{3}-(x+y)^{2}=\frac{2}{x+y}+2(x+y)^{3}-(x+y)^{2}$

Đặt $x+y=t$ khi đó $xy\leq \frac{t^{2}}{4}\Leftrightarrow 2\leq \frac{t^{3}}{4}\Leftrightarrow t\geq 2$

Suy ra $P+12=\frac{2}{t}+2t^{3}-t^{2}= \frac{2}{t}+\frac{t^{3}}{8}+\frac{15}{8}t^{3}-t^{2}\geq \frac{1}{2}t^{2}+\frac{1}{2}t^{2}(t-2)+\frac{11}{8}t^{3}\geq 13\Leftrightarrow P\geq 1$

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 07-07-2017 - 19:53

[Nguyenhuyen_AG]

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=xy+2(x^3+y^3)-(x+y)^2$ biết $x,y>0$ thoả mãn $xy(x+y)=2$

P/s: Hóng cách dùng hàm

 

Ta có

\[P = 1 + \left(x+y+\frac12\right) (x-y)^2+\left(x+\frac12\right) (x-1)^2+\left(y+\frac12\right) (y-1)^2+[xy(x+y)-2].\]

Cho $xy(x+y) = 2$ ta suy ra được giá trị nhỏ nhất của $P.$