Chứng minh rằng luôn tìm được số có dạng $20122012...2012$ (gồm các số $2012$ viết liên tiếp nhau) chia hết cho $2013$.
Giải:
Xét 2013 số sau: $2012$, $20122012$, ..., $20122012...2012$ (gồm 2013 bộ số 2012).
Giả sử trong 2013 số trên không có số nào chia hết cho $2013$. Khi đó, lần lượt lấy 2013 số trên chia cho $2013$ sẽ nhận được tối đa 2012 loại số dư khác nhau ($1, 2, 3, ..., 2012$). Theo nguyên lý Dirichlet, sẽ tồn tại ít nhất hai số có cùng số dư trong phép chia cho $2013$. Và giả sử đó là $a = 20122012...2012$ (gồm $i$ bộ số 2012) và $b = 20122012...2012$ (gồm $j$ bộ số 2012) với $1 \leqslant i < j \leqslant 2013$. Khi đó:
$b - a = 20122012...2012.10^{4i}$ (gồm $j - i$ bộ số 2012) sẽ chia hết cho 2013.
Do $(10^{4i}, 2013) = 1$ nên số $20122012...2012$ (gồm $j - i$ bộ số 2012) sẽ chia hết cho 2013, mâu thuẫn.
Suy ra điều giả sử là sai.
Vậy luôn tồn tại số có dạng $20122012...2012$ (gồm các số $2012$ viết liên tiếp nhau) chia hết cho $2013$.
Mình thắc mắc là cách giải trên đúng chưa nhỉ? Vì trong sách thì họ không giải theo kiểu kết hợp chứng minh phản chứng và nguyên lý Dirichlet mà đặt 2014 số ban đầu luôn, chỉ sử dụng mỗi Dirichlet !
