Chủ đề này có 2 trả lời

[tcm]

Cho $n$ là số tự nhiên khác $0$, $a$ là ước nguyên dương của $2n^{2}$. Chứng minh rằng $n^{2} + a$ không thể là số chính phương.

 

Cách giải (của sách):

 

Giả sử $n^{2} + a = x^{2}$ (1) với $x \in Z$. Do $a$ là ước nguyên dương của $2n^{2}$ nên $2n^{2} = ka, k \in N^{*}$. Khi đó $x^{2} = n^{2} + a = n^{2} + \frac{2n^{2}}{k} \Rightarrow (\frac{kx}{n})^{2} = k^{2} + 2k \in N^{*}$. Vậy $k^{2} + 2k$ là số chính phương. Điều này vô lí vì $k^{2} < k^{2} + 2k < (k + 1)^{2}$. Suy ra đpcm.

 

Mình thắc mắc ở chỗ vì sao từ $x^{2} = n^{2} + a = n^{2} + \frac{2n^{2}}{k}$ mà suy ra được $(\frac{kx}{n})^{2} = k^{2} + 2k \in N^{*}$? Và sao đoạn cuối lại có $\in N^{*}$?

 

Mình cảm ơn trước.

[IHateMath]

Chỉ đơn thuần là nhân hai vế với $\left( \frac{k}{n}\right) ^2$ thôi, còn $k$ đã là số nguyên dương thì $k^2+2k$ cũng là số nguyên dương.

[tcm]

Chỉ đơn thuần là nhân hai vế với $\left( \frac{k}{n}\right) ^2$ thôi, còn $k$ đã là số nguyên dương thì $k^2+2k$ cũng là số nguyên dương.

 

À, cho mình hỏi thêm một đoạn như thế này:

Ở chỗ suy ra $(\frac{kx}{n})^{2} = k^{2} + 2k \in N^{*}$, nếu như ko có khúc cuối $\in N^{*}$ thì $(\frac{kx}{n})^{2}$ có thể ko thuộc tập số tự nhiên, dẫn đến mâu thuẫn đúng ko?