Bài 1: Chứng minh rằng $\sqrt{2}$ là một số vô tỉ.
Cách giải (của sách):
Giả sử $\sqrt{2}$ là một số hữu tỉ, ta sẽ biểu diễn được $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ với $a, b \in Z, b \neq 0, (a, b) = 1$.
Do đó $a = b\sqrt{2}$. Bình phương hai vế, ta được: $a^{2} = 2b^{2}$. Vì vế phải chia hết cho 2 nên vế trái cũng phải chia hết cho 2 (vì chúng bằng nhau và đều là số nguyên). Do đó $a^{2}$ là số chẵn, có nghĩa là $a$ cũng phải là số chẵn. Do vậy ta có thể viết $a = 2c$, trong đó $c$ cũng là số nguyên. Thay vào phương trình ban đầu ta có: $(2c)^{2} = 2b^{2}$ hay $b^{2} = 2c^{2}$. Nhưng khi đó, tương tự như trên, $b^{2}$ chia hết cho 2 nên $b$ phải là số chẵn. Nhưng nếu $a$ và $b$ đều là số chẵn thì chúng sẽ có chung một ước số là 2. Điều này trái ngược với giả thuyết $(a, b) = 1$. Vậy giả sử $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ là sai. Do đó, ta có đpcm.
Mình thắc mắc cách giải trên ở chỗ vì sao lại có điều kiện $(a, b) = 1$?
Theo Wikipedia thì khái niệm số hữu tỉ chỉ có điều kiện $a, b$ là số nguyên, $b \neq 0$ thôi mà?
Bài 2: Không dùng máy tính, hãy chứng minh $6 - \sqrt{35} < \frac{1}{10}$.
Cách giải (của sách):
Giả sử $6 - \sqrt{35} \geqslant \frac{1}{10}$. Khi đó $6 - \frac{1}{10} \geqslant \sqrt{35}$ hay $59 \geqslant 10\sqrt{35}$. Bình phương hai vế ta có: $59^{2} \geqslant 100.35$ hay $3481 \geqslant 3500$, vô lí. Vậy giả sử trên là sai, do đó $6 - \sqrt{35} < \frac{1}{10}$.
Mình có cách giải khác như sau:
Giả sử $6 - \sqrt{35} \geqslant \frac{1}{10}$. (1)
Có: $\sqrt{35} < \sqrt{36} \Leftrightarrow -\sqrt{35} > -\sqrt{36} \Leftrightarrow 6 - \sqrt{35} > 0$, mâu thuẫn với (1).
Vậy ta có đpcm.
Không biết cách trên có chấp nhận được không nhỉ? Mặc dù mẫu thuẫn không hoàn toàn 100%.
