$a,b,c\geq 0$ CMR: $\sqrt{\frac{a^{2}+1}{b+c}}+\sqrt{\frac{b^{2}+1}{a+c}}+\sqrt{\frac{c^{2}+1}{b+a}}\geq 3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 17-07-2017 - 12:41
$a,b,c\geq 0$ CMR: $\sum \sqrt{\frac{a^{2}+1}{b+c}} \geq 3$
Bắt đầu bởi slenderman123, 17-07-2017 - 10:44
#1
Đã gửi 17-07-2017 - 10:44
slenderman123
-
- Thành viên
-
- 175 Bài viết
Trung sĩ
Nguyễn Văn Tự Cường - Trường THPT Chuyên LQĐ - Quảng Trị
#2
Đã gửi 17-07-2017 - 11:28
cristianoronaldo
-
- Thành viên
-
- 233 Bài viết
Thượng sĩ
#3
Đã gửi 17-07-2017 - 11:32
cristianoronaldo
-
- Thành viên
-
- 233 Bài viết
Thượng sĩ
Sử dụng ghép cặp:
$(a^2+1)(1+b^2)\geq (a+b)^2$
Tương tự vs những cái sau nhân vào là xong
- slenderman123 yêu thích
Nothing in your eyes
#4
Đã gửi 17-07-2017 - 11:50
Duy Thai2002
-
- Thành viên
-
- 433 Bài viết
Sĩ quan
Bđt <=> $(\sum \frac{a^{2}+1}{b+c})^{2}\geq 9$
Bổ đề: $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$ (tự chứng minh) 
Theo bổ đề => $(\sum \sqrt{\frac{a^{2}+1}{b+c}})^{2}\geq 3(\sum \sqrt{\frac{(a^{2}+1)(b^{2}+1)}{(b+c)(c+a)}})\geq 3(\sum \frac{a+b}{\sqrt{(b+c)(c+a)}})$(Cauchy-Schwarz)= $3(\frac{a+b}{\sqrt{(b+c)(c+a)}}+\frac{b+c}{\sqrt{(a+b)(c+a)}}+\frac{c+a}{\sqrt{(b+c)(a+b)}})\geq 9\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$(AM-GM)=$9$
=> $(\sum \frac{a^{2}+1}{b+c})^{2}\geq 9$
=> bđt được chứng minh. ĐTXR <=> $a=b=c=1$
- slenderman123 yêu thích
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
