Chủ đề này có 5 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa $(a+b)(b+c)(c+a)=8.$ Chứng minh rằng: $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[27]{\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}}.$

[Drago]

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa $(a+b)(b+c)(c+a)=8.$ Chứng minh rằng: $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[27]{\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}}.$

 

Áp dụng bất đẳng thức cho $9$ số dương ta có

\[(a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)=a^3+b^3+c^3+3\cdot 8 \geqslant 9\sqrt[9]{(a^3+b^3+c^3) \cdot 3^8}.\]

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

[Nguyenhuyen_AG]

Bạn nào có cách giải khác dùng biến đổi tương đương k ạ

 

Có một cách biến đối tương đương nhưng bất đẳng thức cuối cùng thu được rất khủng khiếp

\[(t^7+54t^6+2187t^5+78732t^4+2657205t^3+86093442t^2+2711943423t+83682825624)(t-27)^2 \geqslant 0.\]

[Drago]

Bằng cách nào pạn có bđt khủng zẻ ,cho mình học hỏi tý nhé pạn

Maple đó bạn, nhưng phải có code nữa

[Nguyenhuyen_AG]

t là gì vậy pạn

 

Ý tưởng này không phải của mình nên xin trích lại nguyên văn

 

$ \frac {a + b + c}{3}\geq \sqrt [27]{\frac {a^3 + b^3 + c^3}{3}}\Longleftrightarrow (a + b + c)^{27}\geq 3^{26}(a^3 + b^3 + c^3)\ \cdots [*]$.
Let $ a + b = 2x,\ b + c = 2y,\ c + a = 2z$, we have that $ (a + b)(b + c)(c + a) = 8\Longleftrightarrow xyz = 1$ and $ 2(a + b + c) = 2(x + y + z)\Longleftrightarrow a + b + c = x + y + z$.$ (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)\Longleftrightarrow a^3 + b^3 + c^3 = (x + y + z)^3 - 24$. $ \therefore [*]\Longleftrightarrow (x + y + z)^{27}\geq 3^{26}\{(x + y + z)^3 - 24\}$.
Let $ t = (x + y + z)^3$, by AM-GM, we have that $ x + y + z\geq 3\sqrt [3]{xyz}\Longleftrightarrow x + y + z\geq 3$, yielding $ t\geq 27$.
Since $ y = t^9$ is an increasing and concave up function for $ t > 0$, the tangent line of $ y = t^9$ at $ t = 3$ is $ y = 3^{26}(t - 27) + 3^{27}$.We can obtain $ t^9\geq 3^{26}(t - 27) + 3^{27}$, yielding $ t^9\geq 3^{26}(t - 24)$, which completes the proof.

 

Với cách đặt này thì khi $t^9 \geqslant 3^{26}(t - 27) + 3^{27} = 0$ sẽ có $t=27.$

 

Maple đó bạn, nhưng phải có code nữa

 

Để phân tích $t^9 - 3^{26}(t - 27) - 3^{27}$ thành nhân tử chỉ một lệnh factor.