Chủ đề này có 2 trả lời

[nhanxuanha]

Cho $a,b,c \geq 0$ và $\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{1+b}+\frac{3c}{1+c}\leq 1$ .Chứng minh $ab^2c^3\leq \frac{1}{5^6}$

[Duy Thai2002]

Bài toán là tiêu biểu cuả phương pháp chọn điểm rơi trong AM-GM.

Từ gt quy đồng rồi thu gọn, ta được :

$b+2c+2ab+4bc+3ac+5abc\leq 1$

$5(b+2c+2ab+4bc+3ac+5abc)\leq 5$

Ta có:

$5\geq 5b+10c+10ab+20bc+15ac+25abc\geq 25\sqrt[25]{5^{11}.a^{6}.b^{12}.c^{18}}$

$\Rightarrow ab^{2}c^{3}\leq \sqrt[6]{\frac{5^{25}}{25^{25}.5^{11}}}=\frac{1}{5^{6}}$.ĐTXR $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{5}$

$\Rightarrow Q.E.D$

[MoMo123]

Cho $a,b,c \geq 0$ và $\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{1+b}+\frac{3c}{1+c}\leq 1$ .Chứng minh $ab^2c^3\leq \frac{1}{5^6}$

Mình có cách này không biết có được không

 

Bài toán là tiêu biểu cuả phương pháp chọn điểm rơi trong AM-GM.

Từ gt quy đồng rồi thu gọn, ta được :

$b+2c+2ab+4bc+3ac+5abc\leq 1$

$5(b+2c+2ab+4bc+3ac+5abc)\leq 5$

Ta có:

$5\geq 5b+10c+10ab+20bc+15ac+25abc\geq 25\sqrt[25]{5^{11}.a^{6}.b^{12}.c^{18}}$

$\Rightarrow ab^{2}c^{3}\leq \sqrt[6]{\frac{5^{25}}{25^{25}.5^{11}}}=\frac{1}{5^{6}}$.ĐTXR $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{5}$

$\Rightarrow Q.E.D$

Cách của anh đúng là hay thật

 

Ta có $\frac{a}{a+1}+\frac{2b}{b+1}+\frac{3c}{c+1}\leq 1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{1+a}\geq \frac{2b}{b+1}+\frac{3c}{c+1}=\frac{b}{b+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{c}{c+1}\geq 5\sqrt[5]{\frac{b^{2}c^{3}}{(1+b)^{2}(1+c)^{3}}}$ 

Tương tự ta có các bất đẳng thức tương tự 

$\frac{1}{b+1}\geq 5\sqrt[5]{\frac{abc^{3}}{(1+a)(1+b)(1+c)^{3}}}$ Bình phương biểu thức này lên 

 

$\frac{1}{c+1}\geq 5\sqrt[5]{\frac{ab^{2}c^{2}}{(1+a)(1+b)^{2}(1+c)^{2}}}$ (lập phương biểu thức này lên)

 

 

Nhân 3 bất đẳng  thức đã biến đổi trên lại ta có ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 02-09-2017 - 19:29