Cho $a,b,c \geq 0$ và $\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{1+b}+\frac{3c}{1+c}\leq 1$ .Chứng minh $ab^2c^3\leq \frac{1}{5^6}$
Chứng minh $ab^2c^3\leq \frac{1}{5^6}$
#1
Đã gửi 02-09-2017 - 14:26
#2
Đã gửi 02-09-2017 - 16:30
Bài toán là tiêu biểu cuả phương pháp chọn điểm rơi trong AM-GM.
Từ gt quy đồng rồi thu gọn, ta được :
$b+2c+2ab+4bc+3ac+5abc\leq 1$
$5(b+2c+2ab+4bc+3ac+5abc)\leq 5$
Ta có:
$5\geq 5b+10c+10ab+20bc+15ac+25abc\geq 25\sqrt[25]{5^{11}.a^{6}.b^{12}.c^{18}}$
$\Rightarrow ab^{2}c^{3}\leq \sqrt[6]{\frac{5^{25}}{25^{25}.5^{11}}}=\frac{1}{5^{6}}$.ĐTXR $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{5}$
$\Rightarrow Q.E.D$
- Tea Coffee, MoMo123 và minhducndc thích
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
#3
Đã gửi 02-09-2017 - 19:10
Cho $a,b,c \geq 0$ và $\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{1+b}+\frac{3c}{1+c}\leq 1$ .Chứng minh $ab^2c^3\leq \frac{1}{5^6}$
Mình có cách này không biết có được không
Bài toán là tiêu biểu cuả phương pháp chọn điểm rơi trong AM-GM.
Từ gt quy đồng rồi thu gọn, ta được :
$b+2c+2ab+4bc+3ac+5abc\leq 1$
$5(b+2c+2ab+4bc+3ac+5abc)\leq 5$
Ta có:
$5\geq 5b+10c+10ab+20bc+15ac+25abc\geq 25\sqrt[25]{5^{11}.a^{6}.b^{12}.c^{18}}$
$\Rightarrow ab^{2}c^{3}\leq \sqrt[6]{\frac{5^{25}}{25^{25}.5^{11}}}=\frac{1}{5^{6}}$.ĐTXR $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{5}$
$\Rightarrow Q.E.D$
Cách của anh đúng là hay thật
Ta có $\frac{a}{a+1}+\frac{2b}{b+1}+\frac{3c}{c+1}\leq 1$
$\Leftrightarrow \frac{1}{1+a}\geq \frac{2b}{b+1}+\frac{3c}{c+1}=\frac{b}{b+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{c}{c+1}\geq 5\sqrt[5]{\frac{b^{2}c^{3}}{(1+b)^{2}(1+c)^{3}}}$
Tương tự ta có các bất đẳng thức tương tự
$\frac{1}{b+1}\geq 5\sqrt[5]{\frac{abc^{3}}{(1+a)(1+b)(1+c)^{3}}}$ Bình phương biểu thức này lên
$\frac{1}{c+1}\geq 5\sqrt[5]{\frac{ab^{2}c^{2}}{(1+a)(1+b)^{2}(1+c)^{2}}}$ (lập phương biểu thức này lên)
Nhân 3 bất đẳng thức đã biến đổi trên lại ta có ĐPCM
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 02-09-2017 - 19:29
- Tea Coffee và nguyenbaohoang0208 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh