1 reply to this topic

[Sauron]

Cho $x,y,z$ là 3 số dương thỏa $x{^2}+y{^2}+z{^2}= 3xyz$. Chứng minh:

 

$\frac{x{^2}}{y+2}+\frac{y{^2}}{z+2}+\frac{z{^2}}{x+2}$ $\geq$ $1$.

[kytrieu]

 

Cho $x,y,z$ là 3 số dương thỏa $x{^2}+y{^2}+z{^2}= 3xyz$. Chứng minh:

 

$\frac{x{^2}}{y+2}+\frac{y{^2}}{z+2}+\frac{z{^2}}{x+2}$ $\geq$ $1$.

 

Ta có

$\frac{(x+y+z)^{3}}{9}\geq 3xyz=\sum x^{2}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}$

$\Rightarrow x+y+z\geq 3$

BĐT $\Leftrightarrow \frac{(x+y+z)^{2}}{x+y+z+6}\geq 1\Leftrightarrow (x+y+z-3)(x+y+z+2)\geq 0$ đúng