Chứng minh rằng: $\frac{1}{3}n^2+\frac{1}{2}n+\frac{1}{6}\ge (n!)^{\frac{2}{n}}$ với $n\in \mathbb{N}^*$
Chứng minh rằng: $\frac{1}{3}n^2+\frac{1}{2}n+\frac{1}{6}\ge (n!)^{\frac{2}{n}}$
#1
Đã gửi 09-09-2017 - 11:09
#2
Đã gửi 09-09-2017 - 16:31
Chứng minh rằng: $\frac{1}{3}n^2+\frac{1}{2}n+\frac{1}{6}\ge (n!)^{\frac{2}{n}}$ với $n\in \mathbb{N}^*$
Ta có một đẳng thức khá quen thuộc : $1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Ta chứng minh bằng cách THCS :
$1^2+2^2+3^2+...+n^2=1(2-1)+2(3-1)+3(4-1)+...+n(n+1-1)=[1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)]-(1+2+3+...+n)=\frac{n(n+1)(n+2)-0.1.2}{3}-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Ngoài ra còn có thể chứng minh theo quy nạp hoặc dùng hằng đẳng thức các kiểu ....
Quay lại bài toán ,
+) Nếu n=1 ta có ngay đpcm .
+)Nếu n >1 ,áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
$RHS=\sqrt[n]{(n!)^2}=\sqrt[n]{1^2.2^2.3^2.....n^2}\leq \frac{1^2+2^2+3^2+...+n^2}{n}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{1}{3}n^2+\frac{1}{2}n+\frac{1}{6}$
Chứng minh hoàn tất .
- tritanngo99 và minhducndc thích
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: olp
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Đa thức →
$P(3+\sqrt{5})=3+\sqrt{5}$Bắt đầu bởi tritanngo99, 15-01-2019 olp |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
Chứng minh rằng: $\sum a^2(9b^2+5)+4\sum ab\ge 18abc+36$Bắt đầu bởi tritanngo99, 23-01-2018 olp |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
CMR: $\sum \frac{b}{c^3}+\sum a\ge 2\sum \frac{1}{c^2}$Bắt đầu bởi tritanngo99, 15-12-2017 olp |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a+b}{c^2}+\frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}\ge \frac{5}{2}(a^2+b^2+c^2)-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)$Bắt đầu bởi tritanngo99, 17-09-2017 olp |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Các kỳ thi Olympic →
Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp. →
Đề thi Trường hè Vinh 2015Bắt đầu bởi Belphegor Varia, 13-08-2015 olp |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh