Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn: $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a+b}{c^2}+\frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}\ge \frac{5}{2}(a^2+b^2+c^2)-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)$
$\frac{a+b}{c^2}+\frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}\ge \frac{5}{2}(a^2+b^2+c^2)-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)$
Started By tritanngo99, 17-09-2017 - 15:10
olp
#1
Posted 17-09-2017 - 15:10
#2
Posted 26-09-2017 - 22:25
Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn: $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a+b}{c^2}+\frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}\ge \frac{5}{2}(a^2+b^2+c^2)-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)$
Viết bất đẳng thức lại dưới dạng thuần nhất
\[f(a,b,c) = \sum \frac{a+b}{c^2} - \frac{5(a^2+b^2+c^2) -ab-bc-ca}{2abc} \geqslant 0.\]
Giả sử $x,y,z$ là ba số thực dương, áp dụng phép thế Ravi ta có
\[f(a,b,c) = f(x+y,y+z,z+x) \equiv f(x,y,z),\]
và
\[f(x,y,z)= \frac{1}{2(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2} \sum (x^3+3x^2y+5xy^2+y^3+2x(x+y-z)^2)(x-y)^2 \geqslant 0.\]
- tritanngo99 likes this
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport
Ho Chi Minh City University Of Transport
Also tagged with one or more of these keywords: olp
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Đa thức →
$P(3+\sqrt{5})=3+\sqrt{5}$Started by tritanngo99, 15-01-2019 olp |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
Chứng minh rằng: $\sum a^2(9b^2+5)+4\sum ab\ge 18abc+36$Started by tritanngo99, 23-01-2018 olp |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
CMR: $\sum \frac{b}{c^3}+\sum a\ge 2\sum \frac{1}{c^2}$Started by tritanngo99, 15-12-2017 olp |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
Chứng minh rằng: $\frac{1}{3}n^2+\frac{1}{2}n+\frac{1}{6}\ge (n!)^{\frac{2}{n}}$Started by tritanngo99, 09-09-2017 olp |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Các kỳ thi Olympic →
Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp. →
Đề thi Trường hè Vinh 2015Started by Belphegor Varia, 13-08-2015 olp |
|
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users