như hình
#1
Đã gửi 28-09-2017 - 19:42
#2
Đã gửi 28-09-2017 - 20:31
+) x=0 không là nghiệm của phương trình
+) $x\neq 0$ chia cả 2 vế của P(x) cho $x^{2}$ ta được
$x^{2}+ax+b+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0$
Đặt $x+\frac{1}{x}=t(\left | t \right |\geq 2)$
PT trở thành
$t^{2}-2+at+b=0$
$\Leftrightarrow at+b=2-t^{2}\Rightarrow (at+b)^{2}=(t^{2}-2)^{2}\Rightarrow (a^{2}+b^{2})(t^{2}+1)\geq (t^{2}-2)^{2}\Rightarrow a^{2}+b^{2}\geq \frac{(t^{2}-2)^{2}}{t^{2}+1}$
ta cần cm $\frac{(t^{2}-2)^{2}}{t^{2}+1}\geq \frac{4}{5}$ biến đổi tương đương là ra
$\sqrt{VMF}$
#3
Đã gửi 28-09-2017 - 20:47
$P(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1=0$
$x_{0}=0$ không là nghiệm của $P(x)$, chia 2 vế cho $x_{0}^{2}$
$\Rightarrow \left ( x_{0}^{2}+\frac{1}{x_{0}^{2}} \right )+a\left ( x_{0} +\frac{1}{x_{0}}\right )+b=0$ (*)
Đặt $x_{0}+\frac{1}{x_{0}}=t$ ($\left | t \right |\geq 2$) $\Rightarrow t^{2}-2=x_{0}^{2}+\frac{1}{x_{0}^{2}}$
(*) $\Leftrightarrow t^{2}-2+at+b=0\Leftrightarrow at+b=2-t^{2}$
Ta có: $\left | at+b \right |\leq \left | at \right |+\left | b \right |\Rightarrow\left | 2-t^{2} \right | \leq \left | at \right |+\left | b \right |$
$\Rightarrow \frac{\left | 2-t^{2} \right |}{\left | t \right |}\leq \left | a \right |+\frac{\left | b \right |}{\left | t \right |}\leq \left | a \right |+\frac{\left | b \right |}{2}$
Ngoài ra: $\frac{\left | 2-t^{2} \right |}{\left | t \right |}=\frac{t^{2}-2}{\left | t \right |}=\left | t \right |-\frac{2}{\left | t \right |}\geq 1$ (vì $\left | t \right |\geq 2$)
$\Rightarrow \left | a \right |+\frac{\left | b \right |}{2}\geq 1\Leftrightarrow 2\left | a \right |+\left | b \right |\geq 2$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có:
$\left ( 2^{2}+1 \right )\left ( a^{2}+b^{2} \right )\geq \left ( 2\left | a \right |+\left | b \right | \right )^{2}\geq 2^{2}=4\Rightarrow a^{2}+b^{2}\geq \frac{4}{5}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrucCumgarDaklak: 28-09-2017 - 20:50
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đa thức bậc 4, đại số, đa thức bậc cao
|
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
Tài liệu đại số cho Olympic sinh viênBắt đầu bởi dungbruhbruh12345, 20-05-2024 đại số, tài liệu và . |
|
||
Toán Đại cương →
Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp →
TÀI LIỆU CHO OLYMPIC SINH VIÊNBắt đầu bởi dungbruhbruh12345, 20-05-2024 đại số, chuyên đề, tài liệu và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Tính $A =\frac{2x_{1}^{2}+3x_{1}x_{2}+3x_{2}^{2}}{x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}x_{2}^{3}}$Bắt đầu bởi aZO, 15-05-2024 đại số |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$a^2 + b^2 + 1 = c!$Bắt đầu bởi Khanh369, 08-05-2024 đại số, giai thừa |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
CMR: $\left ( \frac{x^2}{a} \right )^n+\left ( \frac{y^2}{b} \right )^n=\frac{2}{(a-b)^n}$Bắt đầu bởi Duc3290, 01-05-2024 biến đổi đại số, phân thức và . |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh