Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3$. Chứng minh rằng
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge ab+bc+ac$$
Chứng minh bất đẳng thức $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge ab+bc+ac$
Bắt đầu bởi hanguyen445, 25-10-2017 - 16:57
#2
Đã gửi 25-10-2017 - 19:20
viet9a14124869
-
- Thành viên
-
- 903 Bài viết
Trung úy
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3$. Chứng minh rằng
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge ab+bc+ac$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bộ 3 số ta có : $\left\{\begin{matrix} a^2c+ab^2+ab^2 \geq 3ab\sqrt[3]{abc} & & \\ ab^2+bc^2+bc^2 \geq 3bc\sqrt[3]{abc} & & \\ bc^2+a^2c+a^2c \geq 3ca\sqrt[3]{abc} & & \end{matrix}\right.$
Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta suy ra được : $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2c+bc^2+b^2a}{abc}\geq \frac{(ab+bc+ca)\sqrt[3]{abc}}{abc}\geq ab+bc+ca \Leftrightarrow \sqrt[3]{abc}\geq abc$ hay $1\geq abc $
Điều này đúng vì $3=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 3\sqrt[6]{abc}\Rightarrow 1\geq abc$ ( thỏa mãn )
Vậy bài toán được chứng minh xong , dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 !
- hanguyen445, hoicmvsao, Tea Coffee và 1 người khác yêu thích
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
