Chủ đề này có 4 trả lời

[stay calm]

Cho $a,b,c \in   [0,1] $thỏa mãn $abc=(1-a)(1-b)(1-c)$. CMR : $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac {3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 28-10-2017 - 19:42

[anhquannbk]

Đặt $a=cosA, b=cosB, c=cos C$ với $ABC$ là tam giác nhọn.

[ntbt273]

[DOTOANNANG]

[tổng quát]

Với $a,\,b,\,c \in \left [ 0,\,f \right ]$ và $abc= \left ( f- a \right )\left ( f- b \right )\left ( f- c \right )$ thì: $a^{2}+ b^{2}+ c^{2}\geqq \frac{3\,f^{2}}{4}$

[DOTOANNANG]

Với $a,\,b,\,c \in \left [ 0,\,1 \right ]$, ta có bất đẳng thức sau:

 

$$a^{2}+ b^{2}+ c^{2}- 2\left [ abc- \left ( 1- a \right )\left ( 1- b \right )\left ( 1- c \right ) \right ]\geqq \frac{3}{4}$$

 

$$\Leftrightarrow \left ( a+ b+ c- 2\,bc- 1 \right )^{2}+ \left ( 2\,b- 1 \right )^{2}c\left ( 1- c \right )+ \left ( c- \frac{1}{2} \right )^{2}\geqq 0$$

 

Đẳng thức xảy ra khi $a= b= c= \frac{1}{2}$.