Chủ đề này có 1 trả lời

[hoicmvsao]

Tìm các số tự nhiên x và y thỏa mãn: 5$x^3=3^y+317$

[hoicmvsao]

5x³ = 3^y + 317 (*)
* nếu y = 0 => 5x³ = 318 không có x nguyên thỏa mãn

* nếu y = 1 => 5x³ = 320 => x³ = 64 => x = 4

* xét y > 1; đặt y = n+1 (n > 0)

(*) => 5x³ - 5 = 3.3ⁿ + 312 <=> 5(x³-1) = 3(3ⁿ + 104)

<=> 5(x-1)(x²+x+1) = 3(3ⁿ + 104) (**)

(**) => (x-1)(x²+x+1) chia hết cho 3 (chú ý 3 và 5 là hai số nguyên tố)

* nếu x chia hết cho 3 => x-1 và x²+x+1 đều không chia hết cho 3 => (x-1)(x²+x+1) không chia hết cho 3

* nếu x chia 3 dư 2 => x²+x+1 chia 3 dư 1 => (x-1)(x²+x+1) không chia hết cho 3

* nếu x chia 3 dư 1 => x - 1 chia hết cho 3 và x²+x+1 chia hết cho 3

=> (x-1)(x²+x+1) chia hết cho 9

mặt khác do n > 0 nên 3(3ⁿ+104) = 3(3ⁿ+102+2) chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9

Vậy pt có ngiệm duy nhất là x = 4, y = 1