Chủ đề này có 4 trả lời

[hoicmvsao]

Cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1.CM:$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$

[DinhXuanHung CQB]

Đặt $p=a+b+c$, $q=ab+bc+ca$, $r=abc=1$

Do $r=1$ nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

$\sum a^2+3\geq 2(a+b+c)$

<=> $p^2-2q+3\geq 0$

Do $q^2\geq 3pr$ hay $q^2\geq 3p$ do $r=1$ 

=> $p\leq q^2/3$

<=> $\frac{q^2}{3}-q+3\geq 0$

Hay cần cm $q^2-3q+9\geq 0$

<=> $(q-\frac{9}{4})^2+\frac{27}{4}\geq \frac{27}{4}\geq 0$

Vậy hoàn tất chứng minh

 

Quote : Không biết đúng hay không, làm vội

[trieutuyennham]

Cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1.CM:$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$

Ta sẽ cm $\frac{1}{a^{2}}+1\geq 6a-4\Leftrightarrow -(a-1)^{2}(2a+1)\leq 0$ (đúng)

xây dựng các bđt tương tự cộng vế suy ra đpcm

[hoicmvsao]

Ta sẽ cm $\frac{1}{a^{2}}+1\geq 6a-4\Leftrightarrow -(a-1)^{2}(2a+1)\leq 0$ (đúng)

xây dựng các bđt tương tự cộng vế suy ra đpcm

UTC(Hệ số bất định)?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoicmvsao: 26-11-2017 - 21:04

[KietLW9]

Cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1.CM:$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$

Vì $abc=1$ nên ta cần chứng minh:

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{3}{abc}\geq 2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)$ thì $x,y,z>0;xyz=1$ và ta cần chứng minh:

$x^2+y^2+z^2+3xyz\geqslant 2(xy+yz+zx)$

Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số $x-1;y-1;z-1$ tồn tại ít nhất 2 số cùng dấu, giả sử là $x-1$ và $y-1$ thì $(x-1)(y-1)\geqslant 0\Leftrightarrow 3xyz\geqslant 3zx+3yz-3z$

Ta cần chứng minh: 

$x^2+y^2+z^2+3zx+3yz-3z\geqslant 2(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow (x-y)^2+z(x+y+z-3)\geqslant 0$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 07-05-2021 - 21:49