1.Cho a,b,c >0.CM $2(a^2+b^2+c^2)+abc+8 \geq 5(a+b+c)$
2.Cho a,b,c >0. CM $5(a^3+b^3+c^3)+3abc+9\geq 9(ab+bc+ca)$
1.Cho a,b,c >0.CM $2(a^2+b^2+c^2)+abc+8 \geq 5(a+b+c)$
2.Cho a,b,c >0. CM $5(a^3+b^3+c^3)+3abc+9\geq 9(ab+bc+ca)$
1,Với tính thuần nhất của BĐT trên,ta chuẩn hóa:$abc=1$ $ a+b+c \ge 3$1.Cho a,b,c >0.CM $2(a^2+b^2+c^2)+abc+8 \geq 5(a+b+c)$
2.Cho a,b,c >0. CM $5(a^3+b^3+c^3)+3abc+9\geq 9(ab+bc+ca)$
Edited by Sudden123, 04-12-2017 - 21:34.
Có thể sử dụng nguyên lí dirichlet ko bn
1, đặt A nhé
Ta có thể chọn a+b+c=3
có $abc = \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3} - (a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ac ->A=a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac+\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}+8$
dễ dàng chứng minh:$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
do đó:$A=\frac{4}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ca+8 ->A=\frac{1}{2}(a+b+c)^{2}+\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+8 ->A=\frac{25}{2}+\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2}) ->A=\frac{5}{6}(a^{2}+1+b^{2}+1+c^{2}+1)+\frac{10}{3}(a+b+c)$
đến đây cauchy là ra nhé
câu 2 cũng ý tưởng thế này
Sự quyến rũ của người phụ nữ ko đến từ vẻ đẹp của cô ấy mà đến từ đôi mắt của kẻ si tình...
Đây nữa nhé:
3.Cho a,b,c >0; abc=1.CM $(\sum \frac{1}{a^2})+3\geq 2(a+b+c)$
1, đặt A nhé
Ta có thể chọn a+b+c=3có $abc = \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3} - (a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ac ->A=a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac+\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}+8$
dễ dàng chứng minh:$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
do đó:$A=\frac{4}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ca+8 ->A=\frac{1}{2}(a+b+c)^{2}+\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+8 ->A=\frac{25}{2}+\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2}) ->A=\frac{5}{6}(a^{2}+1+b^{2}+1+c^{2}+1)+\frac{10}{3}(a+b+c)$
đến đây cauchy là ra nhé
câu 2 cũng ý tưởng thế này
Mà bạn ơi dấu = xảy ra khi nào vậy
1, đặt A nhé
Ta có thể chọn a+b+c=3có $abc = \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3} - (a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ac ->A=a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac+\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}+8$
dễ dàng chứng minh:$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
do đó:$A=\frac{4}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ca+8 ->A=\frac{1}{2}(a+b+c)^{2}+\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+8 ->A=\frac{25}{2}+\frac{5}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2}) ->A=\frac{5}{6}(a^{2}+1+b^{2}+1+c^{2}+1)+\frac{10}{3}(a+b+c)$
đến đây cauchy là ra nhé
câu 2 cũng ý tưởng thế này
Ban làm sai rồi $a^3+b^3+c^3 \geq a^2+b^2+c^2$ sai
1,Với tính thuần nhất của BĐT trên,ta chuẩn hóa:$abc=1$ $ a+b+c \ge 3$
Bài toán quy về CM:$2(a^2+b^2+c^2)+9 \ge 5(a+b+c)$
Ta có:$a^2+b^2+c^2+3 \ge 2(a+b+c)$(biến đổi tương đương)
Do đó ta chỉ CM:
$a^2+b^2+c^2+6 \ge 3(a+b+c)$
Đặt: $a+b+c=p$ và $ab+bc+ca=q$
$Q.E.D$ \Leftrightarrow $p^2-3p+6\ge 2q$
Theo BĐT schur:$\frac{p^3+9}{2p}\ge 2q$
Ta sẽ CM: $p^2-3p+6 \ge \frac{p^3+9}{2p}$
\Leftrightarrow $(p-3)(p^2-3p+3)\ge 0$
Bất đẳng thức hiển nhiên đúng với $p\ge 3$ $đpcm$
Bạn cũng sai.Nếu mik giả sử abc=8 thì ko còn dấu bằng nữa.ĐT thuần nhất chỉ dùng khi dấu = là a=b=c thôi nhé
Ban làm sai rồi $a^3+b^3+c^3 \geq a^2+b^2+c^2$ sai
$a^{3}+a\geq 2a^{2}$
tương tự: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
mà có $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}->a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3$
có đpcm rồi đấy, dấu = khi a=b=c=1
Sự quyến rũ của người phụ nữ ko đến từ vẻ đẹp của cô ấy mà đến từ đôi mắt của kẻ si tình...
$a^{3}+a\geq 2a^{2}$
tương tự: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
mà có $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}->a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3$
có đpcm rồi đấy, dấu = khi a=b=c=1
Ko được giả sử nhé vì bđt này ko hề thuần nhất ( ko đồng bậc )
Ko được giả sử nhé vì bđt này ko hề thuần nhất ( ko đồng bậc )
thế hả. mình quên mất cái quan trọng này
Sự quyến rũ của người phụ nữ ko đến từ vẻ đẹp của cô ấy mà đến từ đôi mắt của kẻ si tình...
1.Cho a,b,c >0.CM $2(a^2+b^2+c^2)+abc+8 \geq 5(a+b+c)$
2.Cho a,b,c >0. CM $5(a^3+b^3+c^3)+3abc+9\geq 9(ab+bc+ca)$
câu 1 : t k biết gõ talex nên viết chay ;
xét a-1,b-1,c-1 thì tồn tại 2 số cùng giấu, gs (a-1)(b-1)>=0 => abc=>ac+bc-c
thay vào đề suy ra ta cần cm : 2(a^2...) + ac+bc+8>=5a+5b+6c
đến đây chuyển vế coi là phương trình bậc 2 ẩn c, xét delta có delta<=0 suy ra f(c) >=0
dấu = khi a=b=c=1
-----Đừng chọn sống an nhàn trong những năm tháng mà bạn "chịu khổ được"-----
Câu 3. Đặt $(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c})= (x;y;z)\Rightarrow xyz=1$
Khi đó ta cần chứng minh $\sum a^{2}+3\geq 2\sum ab$
$\Leftrightarrow \sum a^{2}+2abc+1\geq 2\sum ab$(Vì $abc=1)$
Trong 3 số a;b;c luôn có 2 số cùng bé hoặc cùng lớn hơn 1,ko mất tính tổng quát ta giả sử 2 sô dó là b;c
$\Rightarrow a(b-1)(c-1)\geq 0$
$\Leftrightarrow abc+a\geq ab+ac\Leftrightarrow 2abc+2a+2bc\geq 2(ab+bc+ca)$
Mà $\left\{\begin{matrix} a^{2}+1\geq 2a\\ b^{2}+c^{2}\geq 2bc \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$ (Q.E.D)
Edited by minhducndc, 06-12-2017 - 16:26.
Đặng Minh Đức CTBer
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 members, 1 guests, 0 anonymous users