Chủ đề này có 2 trả lời

[Phillippa08]

Câu 1: Cho 2 số dương $x, y$ thỏa mãn $2xy - 4 = x + y$. Tìm GTNN của biểu thức

P = $xy + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Câu 2: Xét các số thực  $x, y$  thỏa mãn $\sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 1} = \sqrt{2}(x + y)$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P = $x + y$

Câu 3: Xét các số thực $x, y$ thỏa mãn $x - \sqrt{x + 6} = \sqrt{y + 6} - y$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P = $x + y$

[kytrieu]

Câu 1: Cho 2 số dương $x, y$ thỏa mãn $2xy - 4 = x + y$. Tìm GTNN của biểu thức

P = $xy + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

 

Từ đk suy ra $xy\geq 4$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có

$P=xy+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq xy+\frac{2}{xy}=\frac{16}{xy}+xy-\frac{14}{xy}\geq 8-\frac{14}{2}=\frac{9}{2}$

[nmtuan2001]

Câu 2: Xét các số thực $x, y$ thỏa mãn $\sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 1} = \sqrt{2}(x + y)$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P = $x + y$
Câu 3: Xét các số thực $x, y$ thỏa mãn $x - \sqrt{x + 6} = \sqrt{y + 6} - y$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P = $x + y$

Câu 2:
$$\sqrt{2}(x + y)=\sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 1} \leq \sqrt{2(x+y+2)}$$
$$x+y \leq \sqrt{x+y+2}$$
Đặt $x+y=t \geq 0$, nên $t^2 \leq t+2$.
$$t^2-t-2 \leq 0$$
$$(t+1)(t-2) \leq 0$$
$$t \leq 2$$
Vậy GTLN của $x+y$ là $2$ khi $x=y=1$.
$$\sqrt{2}(x + y)=\sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 1} \geq \sqrt{x+y+2}$$
$$2(x+y)^2 \geq x+y+2$$
$$2t^2-t-2 \geq 0$$
$$2(t-\frac{1}{4})^2-\frac{17}{8} \geq 0$$
$$(t-\frac{1}{4})^2 \geq \frac{17}{16}$$
$$t-\frac{1}{4} \geq \frac{\sqrt{17}}{4}$$
$$t \geq \frac{1+\sqrt{17}}{4}$$
Vậy GTNN của $x+y$ là $\frac{1+\sqrt{17}}{4}$ khi $x=-1, y=\frac{5+\sqrt{17}}{4}$ và ngược lại.

Câu 3:
$$x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}$$
Từ đây làm tương tự câu 2.
Post 100

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 20-12-2017 - 11:34