cho a,b,c>0: abc=1.CMR:
$\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)} \geq \frac{1}{((a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)+1)^{2}}$
$\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)} \geq \frac{1}{((a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)+1)^{2}}$
Bắt đầu bởi gagaga, 06-01-2018 - 22:50
#2
Đã gửi 10-01-2018 - 19:59
nmtuan2001
-
- Thành viên
-
- 357 Bài viết
Sĩ quan
cho a,b,c>0: abc=1.CMR:
$\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)} \geq \frac{1}{((a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)+1)^{2}}$
Mình nghĩ dấu phải là ngược lại mới đúng.
BĐT tương đương với $2[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)+1]^2 \leq (1+a)(1+b)(1+c)$.
Ta có $\sqrt{(a+b-c)(b+c-a)} \leq \frac{a+b-c+b+c-a}{2}=b$. Từ các BĐT tương tự, suy ra $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc=1$.
Do đó $2[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)+1]^2 \leq 2(1+1)^2=8$.
Mà $(1+a)(1+b)(1+c)=1+a+b+c+ab+bc+ca+abc \geq 2+3\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=8$.
Suy ra $2[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)+1]^2 \leq 8 \leq (1+a)(1+b)(1+c)$.
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
