1 reply to this topic

[gagaga]

cho a,b,c>0: abc=1.CMR:

$\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)} \geq \frac{1}{((a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)+1)^{2}}$

[nmtuan2001]

cho a,b,c>0: abc=1.CMR:

$\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)} \geq \frac{1}{((a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)+1)^{2}}$

Mình nghĩ dấu phải là ngược lại mới đúng.

BĐT tương đương với $2[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)+1]^2 \leq (1+a)(1+b)(1+c)$.

Ta có $\sqrt{(a+b-c)(b+c-a)} \leq \frac{a+b-c+b+c-a}{2}=b$. Từ các BĐT tương tự, suy ra $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc=1$.

Do đó $2[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)+1]^2 \leq 2(1+1)^2=8$.

Mà $(1+a)(1+b)(1+c)=1+a+b+c+ab+bc+ca+abc \geq 2+3\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=8$.

Suy ra $2[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)+1]^2 \leq 8 \leq (1+a)(1+b)(1+c)$.

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.