Chủ đề này có 2 trả lời

[azAZ]

1.Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là: a,b,c . Độ dài các đường trung tuyến tương ứng là m_a, m_b, m_c.

 Chứng minh: \frac{a}{m_a{}}+\frac{b}{m_{b}}+\frac{c}{m_{c}}\geq 2\sqrt{3}

2. Tìm MaxP= sinP + cosP

Với P là số đo góc nhọn trong tam giác ABC vuông . 

3.Cho tam giác ABC có chu vi bằng 3 cm, góc A=60.Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam gIác ABC

4.Cho (O) và một điểm A cố định nằm ngoài đường tròn .Xét đường kính BC. Tìm vị trí đường kính BC để AB+AC đạt giá trị nhỏ nhất

[MathematicsLover]

2. $(sinP+cosP)^{2}\leq 2(sin^2P+cos^2P)=2\Rightarrow MaxP = \sqrt{2} \Leftrightarrow sinP+cosP=\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow P=45^{\circ}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsLover: 07-01-2018 - 20:06

[nmtuan2001]

 

1.Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là: a,b,c . Độ dài các đường trung tuyến tương ứng là m_a, m_b, m_c.

 Chứng minh: $\frac{a}{m_a}+\frac{b}{m_{b}}+\frac{c}{m_{c}}\geq 2\sqrt{3}$

Ta có $m_a=\frac{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}{2}$, nên BĐT tương đương với:

$$\sum \frac{a}{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}} \geq \sqrt{3}$$

Áp dụng Cauchy-Schwarz: $\sum \frac{a}{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}=\sum \frac{a^2}{a\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}} \geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum a\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}$

Mà $\sum a\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}=\sum \sqrt{a}.\sqrt{2(ab^2+c^2a)-a^3} \leq \sqrt{(a+b+c)[2ab(a+b)+2bc(b+c)+2ca(c+a)-a^3-b^3-c^3]}$ (Cauchy-Schwarz)

Cần chứng minh: $2ab(a+b)+2bc(b+c)+2ca(c+a)-a^3-b^3-c^3 \leq \frac{(a+b+c)^3}{3}$, hay

$$3\sum ab(a+b) \leq 4(a^3+b^3+c^3)+6abc$$

BĐT trên đúng theo BĐT Schur và AM-GM: $2\sum ab(a+b) \leq 2(a^3+b^3+c^3+3abc)$ 

$\sum ab(a+b) \leq \sum (a^2-ab+b^2)(a+b)=2(a^3+b^3+c^3)$