Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn$\frac{1}{a + b} + \frac{1}{c + b} + \frac{1}{a + c} = 6$
CMR : $\frac{1}{3a+3b+2c} + \frac{1}{3a+2b+3c} + \frac{1}{2a+3b+3c}\leq \frac{3}{2}$
$\frac{1}{3a+3b+2c} + \frac{1}{3a+2b+3c} + \frac{1}{2a+3b+3c}\leq \frac{3}{2}$
Bắt đầu bởi Lao Hac, 07-01-2018 - 21:30
#2
Đã gửi 07-01-2018 - 21:48
ThuThao36
-
- Thành viên
-
- 220 Bài viết
Thượng sĩ
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn$\frac{1}{a + b} + \frac{1}{c + b} + \frac{1}{a + c} = 6$
CMR : $\frac{1}{3a+3b+2c} + \frac{1}{3a+2b+3c} + \frac{1}{2a+3b+3c}\leq \frac{3}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức $\frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$
$\frac{1}{3a+3b+2c}=\frac{1}{2(a+b)+a+c+b+c}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{2(a+b)}+\frac{1}{a+c+b+c})$
$\frac{1}{a+c+b+c}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})$
$\Rightarrow \frac{1}{3a+3b+2c}\leq \frac{1}{8}.\frac{1}{a+b}+\frac{1}{16}(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})$
$\Rightarrow VT\leq \frac{1}{8}.6+\frac{1}{16}.12=\frac{3}{2}=VP$ (ĐPCM)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{4}$
"... Xin thầy dạy cho cháu biết cách chấp nhận thất bại và cách tận hưởng niềm vui chiến thắng...." 
-Tổng thống Mỹ Abraham Lincoln-
#3
Đã gửi 07-01-2018 - 21:50
Khoa Linh
-
- Thành viên
-
- 601 Bài viết
Thiếu úy
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn$\frac{1}{a + b} + \frac{1}{c + b} + \frac{1}{a + c} = 6$
CMR : $\frac{1}{3a+3b+2c} + \frac{1}{3a+2b+3c} + \frac{1}{2a+3b+3c}\leq \frac{3}{2}$
$\sum \frac{1}{3a+3b+2c}=\sum \frac{1}{(a+b)+(a+b)+(b+c)+(c+a)}\leq \frac{1}{16}\sum \left ( \frac{2}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )=\frac{1}{4}\sum \frac{1}{a+b}=\frac{3}{2}$
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
