Chủ đề này có 1 trả lời

[kiencoam]

Cho a; b; c> 0; a ² +b ² +c ² = 1

Cm: $\frac{1-ab}{(a+b)^{2}}+\frac{1-bc}{(b+c)^{2}}+\frac{1-ca}{(c+a)^{2}}\geq \frac{3}{2}$

[minhducndc]

Ta có $ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}\Rightarrow 1-ab\geq 1- \frac{a^{2}+b^{2}}{2}= \frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+2c^{2})$

Khi đó $\frac{1-ab}{(a+b)^{2}}\geq \frac{1}{2}.\frac{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}{(a+b)^{2}}$

Mà $a^{2}+b^{2}\geq \frac{1}{2}(a+b)^{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{1-ab}{(a+b)^{2}}\geq \frac{3}{4}+\sum \frac{c^{2}}{(a+b)^{2}}$

Lại có $\sum \frac{c^{2}}{(a+b)^{2}}\geq \frac{1}{3}(\sum \frac{c}{a+b})^{2}\geq \frac{1}{3}.\frac{9}{4}= \frac{3}{4}$

Đến đây suy ra đpcm.