Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn $x^3+y^3+z^3-3xyz=1$
Tìm Min(A)=$x^2+y^2+z^2$
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn $x^3+y^3+z^3-3xyz=1$
Tìm Min(A)=$x^2+y^2+z^2$
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
Theo giả thiết: $1=x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \Rightarrow xy+yz+zx=x^2+y^2+z^2-\frac{1}{x+y+z} $
$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2-2(x^2+y^2+z^2)+\frac{2}{x+y+z}$
$\Rightarrow 3(x^2+y^2+z^2) = (x+y+z)^2+\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{x+y+z} \geq 3 \Rightarrow x^2+y^2+z^2 \geq 1 $
Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow x+y+z=1 $ và $x^3+y^3+z^3-3xyz=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi melodias2002: 22-01-2018 - 23:47
Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow x+y+z=1 $ và $x^3+y^3+z^3-3xyz=1$
Mình hoàn thiện nốt phần dấu $=$.
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x+y+z=1$ và $x^2+y^2+z^2=1$, suy ra $xy+yz+zx=0$.
Chọn $x=a$. Suy ra $y+z=1-a$.
$$xy+yz+zx=yz+x(y+z)=yz+a(1-a)=0$$
$$yz=a(a-1)$$
Do đó $(y-z)^2=(1-a)^2-4a(a-1)=(1-a)(1+3a)$
$y-z=\pm \sqrt{(1-a)(1+3a)}$
$y=\frac{1-a+\sqrt{(1-a)(1+3a)}}{2}, z=\frac{1-a-\sqrt{(1-a)(1+3a)}}{2}$ hoặc ngược lại.
Vậy dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $(x,y,z)=\Big( a,\frac{1-a+\sqrt{(1-a)(1+3a)}}{2},\frac{1-a-\sqrt{(1-a)(1+3a)}}{2} \Big)$ và các hoán vị.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 23-01-2018 - 10:28
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
$P=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}-\sqrt{abc}$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 12-04-2018 bđt, minmax |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm giá trị nhỏ nhấtBắt đầu bởi hacnhoxinh, 13-09-2017 minmax |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn : $\sum ab=1$Bắt đầu bởi hoangthihaiyen2000, 05-07-2016 bất đẳng thức, minmax |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Tìm GTLN,GTNN của $C=x^2 +y^2$Bắt đầu bởi nguyenanhthu, 15-05-2016 phanloai, minmax, dangthuc |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $P=\frac{ab}{1+c^{2}}+\frac{bc}{1+a^{2}}-\frac{a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}}{24a^{3}c^{3}}$Bắt đầu bởi jupiterhn9x , 20-02-2016 bất đẳng thức, minmax và . |
|
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh