Chủ đề này có 2 trả lời

[melodias2002]

Cho các số $a,b,c>0$ thoả mãn $abc=a+b+c+2$

Chứng minh rằng: $abc(a-1)(b-1)(c-1)\leq8$

[PugMath]

sr nãy làm sai 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PugMath: 29-03-2018 - 12:28

[tr2512]

Dựa vào giả thiết $abc=a+b+c+2$ nên luôn tồn tại các số $x,y,z$ thực dương thỏa mãn:

$a = \frac{{x + y}}{z};\,\,b = \frac{{y + z}}{x};\,\,c = \frac{{x + z}}{y}$

Viết lại bất đẳng thức trở thành:

$\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)}}{{xyz}}\left( {\frac{{x + y - z}}{z}} \right)\left( {\frac{{x + z - y}}{y}} \right)\left( {\frac{{y + z - x}}{x}} \right) \le 8\\ \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)\left( {x + y - z} \right)\left( {z + x - y} \right)\left( {y + z - x} \right) \le 8{{\rm{x}}^2}{y^2}{z^2}$

Nếu vế trái nhỏ hơn 0 bât đẳng thức hiển nhiên đúng:

Nên ta chỉ cần xét bất đằng thức khi x,y,z là 3 cạnh của 1 tam giác

Chuẩn hóa $x+y+z=1$

Đặt  $xy+yz+xz=q; xyz=r$ và $\frac{1}{4} \le q \le \frac{1}{3}$ (Do x,y,z là 3 cạnh tam giác và AM-GM)

Viết lại bất đẳng thức thành:

$\left( {q - r} \right)\left( {4q - 8{\rm{r - 1}}} \right) \le 8{{\rm{r}}^2}\\ \Leftrightarrow 4{q^2} - 4q{\rm{r}} - 8q{\rm{r}} + 8{{\rm{r}}^2} - q + r \le 8{{\rm{r}}^2}\\ \Leftrightarrow r\left( {12q - 1} \right) - 4{q^2} + q \ge 0$

Theo bất đẳng thức Schur bậc 4 có $r \ge \frac{{\left( {4q - 1} \right)\left( {1 - q} \right)}}{6}$

Vậy ta cần chứng minh:

$\frac{{\left( {4q - 1} \right)\left( {1 - q} \right)}}{6}\left( {12q - 1} \right) - 4{q^2} + q \ge 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{6}{\left( {4q - 1} \right)^2}\left( {3q - 1} \right) \ge 0$

Mà bất đẳng thức cuối luôn đúng.

Hoàn tất chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 29-03-2018 - 14:24