Chủ đề này có 1 trả lời

[macves]

Cho a, b, c là các số dương thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} + 6(ab+bc+ca)  \geq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi macves: 08-04-2018 - 11:21

[Khoa Linh]

Cho a, b, c là các số dương thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a}+ 6(ab+bc+ca)  \geq 3$

Ta có:

$\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a}=\left ( \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \right )(a+b+c)=\sum \frac{a^3}{b}+\sum \frac{ab^2}{c}+\sum a^2$

Áp dụng Cauchy - Schwarz ta có: 

$\sum \frac{a^3}{b}=\sum \frac{a^4}{ab}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}$

$\sum \frac{ab^2}{c}=\sum \frac{a^2b^2}{bc}\geq ab+bc+ca$

Suy ra $VT\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}+7(ab+bc+ca)+a^2+b^2+c^2=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}+5(ab+bc+ca)+1$

Đặt $ab+bc+ca=t\Rightarrow a^2+b^2+c^2=1-2t$

Ta có:

$\frac{(1-2t)^2}{t}+5t+1=9t+\frac{1}{t}-3\geq 3$

Suy ra đpcm