Mình muốn lập topic này để bàn 1 số cách để việc giải phương trình nghiệm nguyên trở nên gọn hơn mong các bạn ủng hộ.
Ba cách giải phương trình $ax+by=c$
1. Phương pháp truyền thống
Bài toán 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định: 23x + 53y = 109
Giải
1. Ta rút ẩn số có hệ số nhỏ hơn theo ẩn số kia;
$x=\frac{109-53y}{23}=4-2y+\frac{17-2y}{23}$ (tách các phần nguyên ra)
Muốn cho x nguyên khi y nguyên thì biểu thức $\frac{17-7y}{23}$ phải bằng 1 số nguyên nào đó, mà ta gọi là t.
Ta có: $\frac{17-7y}{23}=t;17-7y=23t$ hay 23t +7 y=17
Nếu ta tìm được cho t và y những giá trị nguyên thỏa mãn phương trình 23t+7y=17, tức là ta đã tìm được cho x những giá trị nguyên và giải được phương trình. Như vậy cách giải phương trình đã cho quy về phương trình đơn giản hơn vì có hệ số nhỏ hơn.
2. Với phương trình 23t+7y=17 này, ta lại làm như trên. ta rút y
$y=\frac{17-23t}{7}=2-3t+\frac{3-2t}{7}$
Muốn cho y nguyên thì biểu thức $\frac{3-2t}{7}$ phải bằng một số nguyên nào đó chẳng hạn $t_{1}$.
Ta sẽ có $\frac{3-2t}{7}=t_{1}$ hay $7t_{1}+2t=3$.
...
Sau khi giải như vậy ta được biểu thức sau đây của x và y theo $t_{2}$: $x=-16+53t_{2};y=9-23t_{2}$.
Hãy dừng lại một chút đề ngẫm nghĩ về con đường đã dẫn tới đáp số.
Bằng việc đưa ra các số nguyên $t,t_{1},t_{2}$ trong bài toán đã liên tiếp thay phương trình phải giải bằng các phương trình có hệ số nhỏ hơn và tới khi xuất hiện hệ số bằng 1 bài toán kết thúc. nhưng kết thúc vào lúc nào thì chỉ phụ thuộc vào các con số ở đầu bài, bất chấp chúng ra sao hay sao? Phương pháp giải đó, về mặt lý thuyết, có thể xuất hiện $t_{100};t_{1000}$ hoặc hơn nữa mà máy tính điện tử mới đủ kiên nhẫn giải quyết. Và nỗi vất vả để đi tới $t_{n}$ là bao nhiêu thì nỗi vất vả trở về với x, y cũng bấy nhiêu. Như thể chúng ta đã leo lên đỉnh 1 ngôi nhà chọc trời, rồi lộn xuống đề sang thăm anh bạn hàng xóm!
Cần tìm ra 1 con đường ngắn đáng lẽ phải có.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 09-04-2018 - 11:15