Cho $(O,R1)$ và $(O,R2)$ cắt nhau tại $A,B$. ($O,O'$ nằm về hai phía với $AB$), cát tuyến qua $A$ cắt $(O),(O')$ tại $C$ và $D$. Tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$ cắt tiếp tuyến tại $D$ của $(O')$ tại $M$.
Tìm max của $S=\frac{MC}{R1}+\frac{MD}{R2}$
Gọi $P,N$ là trung điểm của $AC,AD$. Ta có $\angle MCD + \angle MDC = \angle CBA + \angle DBA = \angle CBD \Rightarrow 180 - \angle CMD = \angle CBD \Rightarrow MCBD$ nội tiếp $\Rightarrow \angle BMC = \angle BDA; \angle DBA = \angle MDC = \angle MBC \Rightarrow \Delta MBC \sim \Delta DBA (g.g)$. Tương tự, $\Delta MBD \sim \Delta CBA(g.g)$.
Có $\frac{MC}{R_{1}} + \frac{MD}{R_{2}} = \frac{1}{2} (\frac{MC}{2R_{1}} + \frac{MD}{2R_{2}})$ mà $2R_{1} = OB + OC \geq BC; 2R_{2} = O'D + O'C \geq BD \Rightarrow \frac{1}{2} (\frac{MC}{2R_{1}} + \frac{MD}{2R_{2}}) \leq \frac{1}{2} (\frac{MC}{BC} + \frac{MD}{BD}) = \frac{1}{2} (\frac{BD}{BA} + \frac{BC}{BA}) = \frac{CD}{2AB} = \frac{PN}{AB} \leq \frac{OO'}{AB}$ (do $PN$ là hình chiếu vuông góc của $OO'$ trên $CD$) $\Rightarrow \frac{MC}{R_{1}} + \frac{MD}{R_{2}} \leq \frac{OO'}{AB}$.
Dấu bằng đạt được khi $CD \perp AB$.