$\boxed{\text{Bài 78}}$ $\left\{\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{(1-y)(1-x^2)}}+\frac{y}{\sqrt{(1-x)(1-y^2)}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{(1-x^2)(1-y^2)}}\\ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}=\sqrt{\frac{1}{(1-x^2)(1-y^2)}} \end{matrix}\right$.
ĐK $-1< x;y< 1$
HPT tương đương
$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}=\sqrt{2+\sqrt{2}}\\ x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1 \end{matrix}\right.$
Ta sẽ cm x;y đều dương
thật vậy nếu x;y cùng âm thì vô lý
nếu x;y có 1 số âm . Giả sử x dương;y âm
Ta có$x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}< x\leq 1$ (vô lý)
Vậy x;y cùng dương
Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có
$1=x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leq \sqrt{(x^{2}+y^{2})(2-x^{2}-y^{2})}\leq \frac{x^{2}+y^{2}+2-x^{2}-y^{2}}{2}=1$
Dấu = xảy ra khi $x^{2}+y^{2}=1$ $\Rightarrow x+y\leq \sqrt{2}$
Lại áp dụng cauchy-Schwarz ta có
$\sqrt{2+\sqrt{2}}=x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}\leq \sqrt{(x^{2}+y^{2})(x+y+2)}=\sqrt{2+\sqrt{2}}$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Vậy $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trieutuyennham: 06-05-2018 - 16:26