Chủ đề này có 4 trả lời

[Korkot]

 Cho a,b,c là các số dương thỏa $a^2+b^2+c^2+abc=4$

CM $abc+2 \geq ab+bc+ca$

[viet9a14124869]

 Cho a,b,c là các số dương thỏa $a^2+b^2+c^2+abc=4$

CM $abc+2 \geq ab+bc+ca$

Lời giải :

Theo bất đẳng thức Cauchy :

$$4=a^2+b^2+c^2+abc\geq2ab+c^2+abc\Rightarrow (2+c)(2-c-ab)\geq 0\Leftrightarrow 2\geq c+ab$$

Vậy ta chỉ cần chứng minh :

 $$abc+c+ab\geq ab+bc+ca\Leftrightarrow c(a-1)(b-1)\geq 0$$

 

Điều này đúng với mọi a,b thỏa mãn a-1,b-1 cùng dấu . Vậy bài toán được chứng minh xong .

Dấu bằng xảy ra với $(a;b;c)\in {(1;1;1),(0;\sqrt{2};\sqrt{2})}$ và các hoán vị của nó .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 29-04-2018 - 13:47

[Korkot]

Lời giải :

Theo bất đẳng thức Cauchy :

$$4=a^2+b^2+c^2+abc\geq2ab+c^2+abc\Rightarrow (2+c)(2-c-ab)\geq 0\Leftrightarrow 2\geq c+ab$$

Vậy ta chỉ cần chứng minh :

 $$abc+c+ab\geq ab+bc+ca\Leftrightarrow c(a-1)(b-1)\geq 0$$

 

Điều này đúng với mọi a,b thỏa mãn a-1,b-1 cùng dấu . Vậy bài toán được chứng minh xong .

Dấu bằng xảy ra với $(a;b;c)\in {(1;1;1),(0;\sqrt{2};\sqrt{2})}$ và các hoán vị của nó .

Xin cho mình hỏi nếu a-1,b-1 trái dấu thì sao?

chẳng hạn $a=\frac{1}{2}, b=1,1$ thì sao? 

Và a,b,c là các số dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 29-04-2018 - 14:05

[trieutuyennham]

 Cho a,b,c là các số dương thỏa $a^2+b^2+c^2+abc=4$

Bổ đề $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$. CM

Theo Dirichlet tồn tại 2 trong 3 số $a-1;b-1;c-1$ cùng dấu

Giả sử là $a-1;b-1$ Ta có

$(a-1)(b-1)\geq 0$

$\Rightarrow ab+1\geq a+b$

$\Rightarrow 2abc+2c\geq 2ac+2bc$

Ta sẽ cm:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}-2c+1\geq 2ab\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(c-1)^{2}\geq 0$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

suy ra đpcm

[Unrruly Kid]

https://artofproblem...blems/Problem_3

https://www.slidesha...c-ca-v-quc-b-cn