Cho a,b,c là các số dương thỏa $a^2+b^2+c^2+abc=4$
CM $abc+2 \geq ab+bc+ca$
Cho a,b,c là các số dương thỏa $a^2+b^2+c^2+abc=4$
CM $abc+2 \geq ab+bc+ca$
Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.
Cho a,b,c là các số dương thỏa $a^2+b^2+c^2+abc=4$
CM $abc+2 \geq ab+bc+ca$
Lời giải :
Theo bất đẳng thức Cauchy :
$$4=a^2+b^2+c^2+abc\geq2ab+c^2+abc\Rightarrow (2+c)(2-c-ab)\geq 0\Leftrightarrow 2\geq c+ab$$
Vậy ta chỉ cần chứng minh :
$$abc+c+ab\geq ab+bc+ca\Leftrightarrow c(a-1)(b-1)\geq 0$$
Điều này đúng với mọi a,b thỏa mãn a-1,b-1 cùng dấu . Vậy bài toán được chứng minh xong .
Dấu bằng xảy ra với $(a;b;c)\in {(1;1;1),(0;\sqrt{2};\sqrt{2})}$ và các hoán vị của nó .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 29-04-2018 - 13:47
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
Lời giải :
Theo bất đẳng thức Cauchy :
$$4=a^2+b^2+c^2+abc\geq2ab+c^2+abc\Rightarrow (2+c)(2-c-ab)\geq 0\Leftrightarrow 2\geq c+ab$$
Vậy ta chỉ cần chứng minh :
$$abc+c+ab\geq ab+bc+ca\Leftrightarrow c(a-1)(b-1)\geq 0$$
Điều này đúng với mọi a,b thỏa mãn a-1,b-1 cùng dấu . Vậy bài toán được chứng minh xong .
Dấu bằng xảy ra với $(a;b;c)\in {(1;1;1),(0;\sqrt{2};\sqrt{2})}$ và các hoán vị của nó .
Xin cho mình hỏi nếu a-1,b-1 trái dấu thì sao?
chẳng hạn $a=\frac{1}{2}, b=1,1$ thì sao?
Và a,b,c là các số dương
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 29-04-2018 - 14:05
Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.
Cho a,b,c là các số dương thỏa $a^2+b^2+c^2+abc=4$
Bổ đề $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$. CM
Theo Dirichlet tồn tại 2 trong 3 số $a-1;b-1;c-1$ cùng dấu
Giả sử là $a-1;b-1$ Ta có
$(a-1)(b-1)\geq 0$
$\Rightarrow ab+1\geq a+b$
$\Rightarrow 2abc+2c\geq 2ac+2bc$
Ta sẽ cm:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}-2c+1\geq 2ab\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(c-1)^{2}\geq 0$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$
suy ra đpcm
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh