Chủ đề này có 1 trả lời

[mduc123]

Tìm f: $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn  $f(x+f(y))=f(x)+\frac{xf(4y)}{8}+f(f(y)) ,\forall x,y\in \mathbb{R}$

[mduc123]

Lời giải: 

P( f(x); y) $\Rightarrow f(f(x)+f(y))=f(f(x))+f(f(y))+\frac{f(x)f(4y)}{8}$

P( f(y); x) $\Rightarrow f(f(y)+f(x))=f(f(y))+f(f(x))+\frac{f(y)f(4x)}{8}$

$\Rightarrow f(x)f(4y)=f(y)f(4x)\Rightarrow \frac{f(4y)}{f(y)}=\frac{f(4x)}{f(x)}=8a$

P( -f(y); y) $\Rightarrow f(0)=0=f(-f(y))-af(y)^{2}+f(f(y))\Rightarrow f(x)+f(-x)=ax^{2}$

Thay x bởi 4x, tính theo 2 cách ta được a=2

$f(x)+f(-x)=2x^{2}\Rightarrow f(x)=x^{2}$

Thử lại:Thỏa mãn

Kết luận