Chủ đề này có 2 trả lời

[BurakkuYokuro11]

Cho a,b,c là các số thực dương .CMR : 

$\frac{1}{a+b} + \frac{1}{c+b}+\frac{1}{a+c} \geq \frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac} + \frac{c}{c^2+ab}$

[DOTOANNANG]

Ta có bất đẳng thức Vornicu-Schur với $a\geqq b\geqq c\geqq 0$ :

$$x\left ( a- b \right )\left ( a- c \right )+ y\left ( b- c \right )\left ( b- a \right )+ z\left ( c- a \right )\left ( c- b \right )\geqq 0$$

 

Ta để ý thấy rằng:

$$\sum\limits_{cyc}\frac{1}{a+ b}- \sum\limits_{cyc}\frac{a}{a^{2}+ bc}= \sum\limits_{cyc}\frac{\left ( a- b \right )\left ( a- c \right )}{\left ( b+ c \right )\left ( a^{2}+ bc \right )}$$

 

Việc đơn giản là đặt: $x,\,y,\,z= \frac{1}{\left ( b+ c \right )\left ( a^{2}+ bc \right )},\,\frac{1}{\left ( c+ a \right )\left ( b^{2}+ ca \right )},\,\frac{1}{\left ( a+ b \right )\left ( c^{2}+ ab \right )}$ và ta cần chứng minh: $x\leqq y$ hoàn toàn tương tự như bất đẳng thức Schur & lại có:

 

$$y- x= \frac{1}{\left ( c+ a \right )\left ( b^{2}+ ca \right )}- \frac{1}{\left ( b+ c \right )\left ( a^{2}+ bc \right )}= \frac{\left ( a- b \right )\left ( ab- c^{2} \right )}{\left ( a+ c \right )\left ( b+ c \right )\left ( ca+ b^{2} \right )\left ( a^{2}+ bc \right )}\geqq 0$$

 

OK!

 

[KietLW9]

Cho a,b,c là các số thực dương .CMR : 

$\frac{1}{a+b} + \frac{1}{c+b}+\frac{1}{a+c} \geq \frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac} + \frac{c}{c^2+ab}$

Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}$

$VT-VP=\frac{c(a-b)^2(a^2+b^2+ab+ac+bc-c^2)}{(b+c)(a^2+bc)(c+a)(b^2+ca)}+\frac{(c-a)(c-b)}{(a+b)(c^2+ab)}\geqslant 0$