Chủ đề này có 2 trả lời

[trang2004]

Cho a b c d khác1 và  $a^2+b^2+c^2+d^2=1$ Tìm max P=$\frac{abcd}{(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)}$

[HelpMeImDying]

Nếu $a,b,c,d>0$ thì làm thế này 

Đặt $(\frac{a}{1-a};\frac{b}{1-b};\frac{c}{1-c};\frac{d}{1-d})=(x;y;z;t)\Rightarrow (a;b;c;d)=(\frac{x}{x+1};\frac{y}{y+1};\frac{z}{z+1};\frac{t}{t+1})$

Giả thiết trở thành $1=\sum (\frac{x}{x+1})^{2}$ và $P=xyzt$

Nếu $xyzt\leq 1\Rightarrow \max P=1$

Nếu $xyzt\geq 1$

Áp dụng bổ đề: $\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{(y+1)^{2}}\geq \frac{1}{xy+1}; \frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}\geq \frac{2}{xy+1}$ với $xy\geq 1$

$1=\sum \frac{1}{(1+\frac{1}{x})^{2}}\geq \frac{1}{1+\frac{1}{xy}}+\frac{1}{1+\frac{1}{zt}}\geq \frac{2}{1+\frac{1}{\sqrt{xyzt}}}\Leftrightarrow xyzt\leq 1$$\Rightarrow xyzt=1$

Vậy $\max P=1\Leftrightarrow$ $a=b=c=d=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HelpMeImDying: 22-06-2018 - 21:24

[WangtaX]

Áp dụng BĐT Cauchy :

$(1-a)(1-b) = 1-(a+b)+ab \geq$

$ 1-\frac{(a+b)^2+1}{2}+ab $

$= \frac{1-a^2-b^2}{2}$

$=\frac{c^2+d^2}{2} \geq cd$

Tương tự : $(1-c)(1-d) \geq ab$

Suy ra $P \leq 1$

Dấu bằng xảy ra : $a=b=c=d = \frac{1}{2}$   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WangtaX: 24-06-2018 - 09:28