S= $\sum_{k=1}^{n} \left [ \sqrt{k} \right ]$ với k= 2017.2019
S= $\sum_{k=1}^{n} \left [ \sqrt{k} \right ]$ với k= 2017.2019
#1
Đã gửi 29-07-2018 - 15:22
#2
Đã gửi 30-04-2019 - 17:18
S= $\sum_{k=1}^{n} \left [ \sqrt{k} \right ]$ với k= 2017.2019
Dễ thấy tổng $S$ trong đề bài có $2017.2019$ số hạng, trong đó có $3$ số hạng bằng $1$; $5$ số hạng bằng $2$; $7$ số hạng bằng $3$;...; $4035$ số hạng bằng $2017$. Vậy có thể viết :
$S=1.3+2.5+3.7+...+2017.4035$
$=(3+5+7+...+4035)+(5+7+9+...+4035)+(7+9+11+...+4035)+...+(4033+4035)+(4035)$
$=2019.2017+2020.2016+2021.2015+...+4035.1=2017.2018^2-(1^2+2^2+...+2017^2)$
$=2017.2018^2-\frac{2017.2018.4035}{6}=2017.1009.(4036-1345)=5476596723$
- DOTOANNANG và dottoantap thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Đã gửi 30-04-2019 - 20:47
$$\sum\limits_{x= 1}^{k}\,\left \lfloor \sqrt{\,x} \right \rfloor= \frac{1}{6}\left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor\left ( -\,2\left \lfloor \sqrt{\,k} \right \rfloor^{\,2}- 3\left \lfloor \sqrt{\,k} \right \rfloor+ 6\,k+ 5 \right )$$
- chanhquocnghiem yêu thích
#4
Đã gửi 01-05-2019 - 08:48
$$\sum\limits_{x= 1}^{k}\,\left \lfloor \sqrt{\,x} \right \rfloor= \frac{1}{6}\left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor\left ( -\,2\left \lfloor \sqrt{\,k} \right \rfloor^{\,2}- 3\left \lfloor \sqrt{\,k} \right \rfloor+ 6\,k+ 5 \right )$$
Gọi $t$ là số nguyên dương thỏa mãn $k\in\left [ t^2;t^2+2t \right ]$. Khi đó $\left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor=t$ và ta có :
$\sum_{x=1}^{k}\left \lfloor \sqrt{x} \right \rfloor=1.3+2.5+3.7+...+(t-1)(2t-1)+t(k-t^2+1)$
$=(t+1)(t-1)+(t+2)(t-2)+...+(2t-1).1+t(k-t^2+1)$
$=(t-1)t^2-\left [ 1^2+2^2+...+(t-1)^2 \right ]+t(k-t^2+1)$
$=\frac{t}{6}\left [ 6t(t-1)-(t-1)(2t-1)+6(k-t^2+1) \right ]=\frac{t}{6}\left ( -2t^2-3t+6k+5 \right )$
$=\frac{\left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor}{6}\left ( -2\left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor^2-3\left \lfloor \sqrt{k} \right \rfloor+6k+5 \right )$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 01-05-2019 - 08:50
- DOTOANNANG và dottoantap thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#5
Đã gửi 04-05-2019 - 15:19
Có bao nhiêu số nguyên $n$ với $1\leq n\leq 1000$ thỏa $\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor\mid n$ ?
++++++++++++++++++++++++++++
Everything is impossible until you do it.
“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.
#6
Đã gửi 04-05-2019 - 21:54
Có bao nhiêu số nguyên $n$ với $1\leq n\leq 1000$ thỏa $\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor\mid n$ ?
Đặt $\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor=k$
$1\leqslant n\leqslant 1000\Rightarrow 1\leqslant k\leqslant 10$
Xét 2 trường hợp :
a) $1\leqslant k\leqslant 9$ :
$\left \lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor=k\Leftrightarrow n$ từ $k^3$ đến $k^3+3k^2+3k$, hay nói cách khác $n$ từ $k(k^2)$ đến $k(k^2+3k+3)$ (trong đó có $3k+4$ số chia hết cho $k$)
Vậy số số nguyên $n$ trong trường hợp này là $\sum_{k=1}^{9}(3k+4)=9.4+3\sum_{k=1}^{9}k=171$
b) $k=10$ :
Trường hợp này $n$ chỉ có $1$ giá trị là $1000$ và nó thỏa mãn điều kiện đề bài (vì chia hết cho $k=10$)
Đáp án bài toán là $171+1=172$.
- dottoantap và Love is color primrose thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#7
Đã gửi 08-05-2019 - 12:46
1/ Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ thỏa $\left \lceil \frac{n}{101} \right \rceil+1> \frac{n}{100}$
2/ Có bao nhiêu cặp số phức có thứ tự $\left ( z_{1},z_{2} \right )$ mà $z_{1}.z_{2}=10$ và phần thực, phần ảo của chúng là số nguyên.
++++++++++++++++++++++++++++
Everything is impossible until you do it.
“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.
#8
Đã gửi 10-05-2019 - 21:19
1/ Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ thỏa $\left \lceil \frac{n}{101} \right \rceil+1> \frac{n}{100}$
2/ Có bao nhiêu cặp số phức có thứ tự $\left ( z_{1},z_{2} \right )$ mà $z_{1}.z_{2}=10$ và phần thực, phần ảo của chúng là số nguyên.
Bài 1 :
Đặt $f(n)=\left \lceil \frac{n}{101} \right \rceil+1$ ; $g(n)=\frac{n}{100}$
Xét các trường hợp :
+ $n$ từ $1$ đến $10100$ :
$\frac{n}{100}-\left \lceil \frac{n}{101} \right \rceil\leqslant \frac{n}{100}-\frac{n}{101}=\frac{n}{10100}\leqslant 1\Leftrightarrow g(n)\leqslant f(n)$
Dấu bằng chỉ xảy ra khi $n=10100$. Vậy trường hợp này có $10099$ số thỏa mãn.
+ $n$ thuộc $101$ số tiếp theo (từ $10101$ đến $10201$) :
Khi đó $f(n)=102> g(n)$ (trừ 2 giá trị $n=10200$ và $n=10201$). Vậy trường hợp này có $99$ số thỏa mãn.
+ $n$ thuộc $101$ số tiếp theo (từ $10202$ đến $10302$) :
Khi đó $f(n)=103> g(n)$ (trừ 3 giá trị $n=10300$, $n=10301$ và $n=10302$). Vậy trường hợp này có $98$ số thỏa mãn.
+ .............................................................
+ .............................................................
+ $n$ thuộc $101$ số tiếp theo (từ $19999$ đến $20099$) :
Khi đó ....... Vậy trường hợp này có $1$ số thỏa mãn.
+ $n\geqslant 20100$ : Không có số nào thỏa mãn.
$\Rightarrow$ Có $10099+(99+98+97+...+1)=15049$ số nguyên dương $n$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài 2 :
Các số phức $z_1,z_2$ có phần thực và phần ảo là số nguyên $\Rightarrow$ điểm biểu diễn của chúng có các tọa độ là số nguyên
$\Rightarrow |z_1|$ và $|z_2|$ đều có dạng $\sqrt{a^2+b^2}$ ($a,b\in\mathbb{Z}$)
Mặt khác $z_1.z_2=10\Rightarrow |z_1|.|z_2|=10$
Từ đó suy ra $|z_1|$ và $|z_2|$ chỉ có thể lấy các giá trị sau : $1;\sqrt{2};2;\sqrt{5};\sqrt{10};2\sqrt{5};5;5\sqrt{2};10$
Xét các trường hợp :
+ Trong $(z_1,z_2)$ có $1$ số phức có module bằng $1$ : Có $8$ cặp như vậy.
+ Trong $(z_1,z_2)$ có $1$ số phức có module bằng $\sqrt{2}$ : Có $8$ cặp như vậy.
+ Trong $(z_1,z_2)$ có $1$ số phức có module bằng $2$ : Có $8$ cặp như vậy.
+ Trong $(z_1,z_2)$ có $1$ số phức có module bằng $\sqrt{5}$ : Có $16$ cặp như vậy.
+ Cả hai số phức có module bằng $\sqrt{10}$ : Có $8$ cặp như vậy.
Tổng cộng có $48$ cặp $(z_1,z_2)$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
- dottoantap và Love is color primrose thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#9
Đã gửi 14-05-2019 - 11:13
Bài cuối nhé!
Có bao nhiêu số phức $z$ mà $\left | z \right |< 30 $ và thỏa phương trình $ e^{z}=\frac{z-1}{z+1}$.
- chanhquocnghiem yêu thích
++++++++++++++++++++++++++++
Everything is impossible until you do it.
“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.
#10
Đã gửi 15-05-2019 - 09:12
Bài cuối nhé!
Có bao nhiêu số phức $z$ mà $\left | z \right |< 30 $ và thỏa phương trình $ e^{z}=\frac{z-1}{z+1}$.
Đặt $z=a+bi$
Gọi $A$ và $B$ lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức $z-1$ và $z+1$.
$e^z=\frac{z-1}{z+1}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}|e^z|=\frac{|z-1|}{|z+1|}\\\arg(e^z)=\arg(z-1)-\arg(z+1) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}e^a=\frac{|z-1|}{|z+1|}\\\tan b=\tan(OB,OA) \end{matrix}\right.$
Xét các trường hợp :
+ $a> 0$ : Khi đó $|z-1|< |z+1|$ nên phương trình $e^a=\frac{|z-1|}{|z+1|}$ không nghiệm đúng.
+ $a< 0$ : Khi đó $|z-1|> |z+1|$ nên phương trình $e^a=\frac{|z-1|}{|z+1|}$ cũng không nghiệm đúng.
+ $a=0$ : Khi đó $|z-1|=|z+1|$ nên phương trình $e^a=\frac{|z-1|}{|z+1|}$ nghiệm đúng. Vậy $a=0$
Bây giờ ta tính $b$. Vì $|z|< 30$ mà $a=0$ suy ra $|b|< 30$.
Dễ thấy nếu $b=0$ (tức $z=0$) thì phương trình $e^z=\frac{z-1}{z+1}$ không nghiệm đúng.
Với $b\neq 0$, ta có :
$\tan(OB,OA)=\frac{\frac{2}{b}}{1-\frac{1}{b^2}}=\frac{2b}{b^2-1}$
Vậy ta có $\tan b=\frac{2b}{b^2-1}$ (*)
Dùng phương pháp đồ thị ta thấy phương trình (*) có $20$ nghiệm có $|b|< 30$ (không tính nghiệm $b=0$)
Suy ra có $20$ số phức thỏa mãn điều kiện đề bài.
- dottoantap và Love is color primrose thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#11
Đã gửi 15-05-2019 - 14:57
Thật ngưỡng mộ anh!
Em xin trình bày, mong anh cho ý kiến. Và sử dụng dữ liệu anh đã viết, ta có phương trình mới:
$e^{bi}=\frac{bi-1}{bi+1}$
Nhận thấy điểm biểu diễn số phức của 2 vế đều nằm trên đường tròn đơn vị, ta cần xác định khi nào chúng trùng nhau.
Khi $b$ tăng từ $0$ đến $\infty$, thì góc của $bi-1$ giảm nghiêm ngặt từ $\pi $ đến $\frac{\pi }{2}$, trong khi góc của $bi+1$ tăng nghiêm ngặt từ $0 $ đến $\frac{\pi }{2}$ $\rightarrow$ góc của $\frac{bi-1}{bi+1}$ giảm nghiêm ngặt từ $\pi $ đến $0$.
Với $n$ nguyên không âm, xét $b$ từ $2n\pi $ đến $(2n+2)\pi $:
Khi $b$ tăng từ $2n\pi $ đến $(2n+1)\pi $ thì góc của $e^{bi}$ tăng nghiêm ngặt từ $0 $ đến $\pi$
Khi $b$ tăng từ $(2n+1)\pi $ đến dưới $(2n+2)\pi $ thì góc của $e^{bi}$ tăng nghiêm ngặt từ $\pi $ đến dưới $2\pi$
$\rightarrow e^{bi}$ và $\frac{bi-1}{bi+1}$ bằng nhau với đúng một giá trị của $b$ trong $(2n\pi,(2n+1)\pi)$ và không bằng nhau với các giá trị của $b$ trong $[(2n+1)\pi,(2n+2)\pi]$. Do đó, có đúng một giá trị $b$ trong mỗi khoảng $(0,\pi )$, $(2\pi ,3\pi )$, $(4\pi ,5\pi )$, $(6\pi ,7\pi )$ và $(8\pi ,9\pi )$ (không xét tiếp vì $9\pi < 30< 10\pi$)$\rightarrow$ Có $5$ giá trị $b$ dương và do đối xứng, có thêm $5$ giá trị $b$ âm hay nói cách khác, có $10$ số phức $z$ thỏa yc đề bài.
- chanhquocnghiem và Love is color primrose thích
++++++++++++++++++++++++++++
Everything is impossible until you do it.
“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.
#12
Đã gửi 15-05-2019 - 17:10
$e^{bi}=\frac{bi-1}{bi+1}$
Nhận thấy điểm biểu diễn số phức của 2 vế đều nằm trên đường tròn đơn vị, ta cần xác định khi nào chúng trùng nhau.
Khi $b$ tăng từ $0$ đến $\infty$, thì góc của $bi-1$ giảm nghiêm ngặt từ $\pi $ đến $\frac{\pi }{2}$, trong khi góc của $bi+1$ tăng nghiêm ngặt từ $0 $ đến $\frac{\pi }{2}$ $\rightarrow$ góc của $\frac{bi-1}{bi+1}$ giảm nghiêm ngặt từ $\pi $ đến $0$.
Với $n$ nguyên không âm, xét $b$ từ $2n\pi $ đến $(2n+2)\pi $:
Khi $b$ tăng từ $2n\pi $ đến $(2n+1)\pi $ thì góc của $e^{bi}$ tăng nghiêm ngặt từ $0 $ đến $\pi$
Khi $b$ tăng từ $(2n+1)\pi $ đến dưới $(2n+2)\pi $ thì góc của $e^{bi}$ tăng nghiêm ngặt từ $\pi $ đến dưới $2\pi$
$\rightarrow e^{bi}$ và $\frac{bi-1}{bi+1}$ bằng nhau với đúng một giá trị của $b$ trong $(2n\pi,(2n+1)\pi)$ và không bằng nhau với các giá trị của $b$ trong $[(2n+1)\pi,(2n+2)\pi]$. Do đó, có đúng một giá trị $b$ trong mỗi khoảng $(0,\pi )$, $(2\pi ,3\pi )$, $(4\pi ,5\pi )$, $(6\pi ,7\pi )$ và $(8\pi ,9\pi )$ (không xét tiếp vì $9\pi < 30< 10\pi$)$\rightarrow$ Có $5$ giá trị $b$ dương và do đối xứng, có thêm $5$ giá trị $b$ âm hay nói cách khác, có $10$ số phức $z$ thỏa yc đề bài.
Vậy khi $b$ tăng từ $-\infty$ đến $0$, thì góc của $bi-1$ giảm nghiêm ngặt từ $\frac{3\pi}{2}$ đến $\pi$, trong khi góc của $bi+1$ tăng nghiêm ngặt từ $-\frac{\pi}{2}$ đến $0$ $\rightarrow$ góc của $\frac{bi-1}{bi+1}$ giảm nghiêm ngặt từ $2\pi $ đến $\pi$.
Áp dụng cách lập luận của bạn thì trong các khoảng $(-10\pi;-9\pi),(-8\pi;-7\pi),(-6\pi;-5\pi),(-4\pi;-3\pi),(-2\pi;-\pi)$ cũng sẽ có thêm $5$ giá trị $b$ âm (nhưng $5$ giá trị này không đối xứng qua $0$ với $5$ giá trị dương kia). Vậy là chỉ có $10$ số phức thỏa yêu cầu đề bài. Chúc mừng bạn đã giải đúng
- dottoantap yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#13
Đã gửi 16-05-2019 - 17:44
Cám ơn anh rất nhiều.
- chanhquocnghiem yêu thích
++++++++++++++++++++++++++++
Everything is impossible until you do it.
“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tính tổng
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
Tính tổng Sn= 1^3 - 2^3 + 3^3 - 4^3 + ..+ (2n+1)^3Bắt đầu bởi cuong0991, 21-12-2017 đa thức nội suy, tính tổng, sn |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Các dạng toán khác →
Tính tổngBắt đầu bởi duong vi tuan, 05-05-2014 tính tổng |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
p=8k+7, cmr $ \sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}} (k^{2^{p}}) \equiv 0 (mod(p)) $Bắt đầu bởi luantran1997, 08-02-2014 tính tổng |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Tính tổng $1+\frac{1}{56}+\frac{1}{57}+\frac{1}{58}+...+\frac{1}{100}$Bắt đầu bởi bmtrung86, 24-08-2013 tính tổng |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Các dạng toán khác →
Tính tổng $S= 1^3 + 2^3 + 3^3 +....+ n^3$Bắt đầu bởi hanhpth, 08-10-2012 tính tổng, quy nạp |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh