Chủ đề này có 1 trả lời

[frozenn]

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho $(n^{2}+11n-4).n!+33.13^{n}+4$ là số chính phương

[Tea Coffee]

+) Xét $n$ từ $1$ đến $6$

+) Xét $n$ lớn hơn hoặc bằng $7$

$(n^{2}+11n-4).n!\vdots 7$

Với $n$ lẻ $13^{n}\equiv 6(mod7)=>33.13^{n}\equiv 2(mod7)=>(n^{2}+11n-4).n!+33.13^{n}+4\equiv 6(mod7)$ không là SCP do SCP chia $7$ dư $0,1,4,2$

$=>n=2k(k\epsilon \mathbb{Z}^{+})$

$33.13^{n}=33.169^{k}\equiv 1(mod8)=>33.13^{n}+4\equiv 5(mod8)$

Do $(n^{2}+11n-4)n!\vdots 8=>(n^{2}+11n-4)n!+33.13^{n}+4\equiv 5(mod8)$ không là SCP do SCP chia $8$ dư $0,1,4,$

P/s: Trong mấy trường hợp xét đặc biệt đó cái nào lấy được thì lấy nhé.